[b]Cálculo do produto escalar a partir das coordenadas dos vetores[/b][br][br]Vamos ver como o produto escalar de vetores pode ser expresso em termos de coordenadas.[br]Para isso necessitamos de fixar um referencial ortonormado no plano, [math]$xOy$[/math].[br][br][b]Proposição[/b][br]Sejam [math]$\vec{u}(u_1,u_2)$[/math] e [math]$\vec{v}(v_1,v_2)$[/math] dois vetores do plano.[br]Então [math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1\times v_1+u_2\times v_2$[/math].[br][br][b]Demonstração[/b][br]Em primeiro lugar, é imediato concluir que:[br][list][*][math]$\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}=1$[/math] pois [math]$\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}=\parallel\vec{e_1}\parallel^2$[/math] e [math]$\vec{e_2}\cdot\vec{e_2}=1$[/math] pois [math]$\vec{e_2}\cdot\vec{e_2}=\parallel\vec{e_2}\parallel^2$[/math];[/*][*][math]$\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}=0$[/math], pois [math]$\vec{e_1}\bot\vec{e_2}$[/math].[/*][/list]Então[br][math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1\vec{e_1}+u_2\vec{e_2})\cdot(v_1\vec{e_1}+v_2\vec{e_2})=$[/math][br][math]$=(u_1\vec{e_1})\cdot(v_1\vec{e_1})+(u_1\vec{e_1})\cdot(v_2\vec{e_2})+(u_2\vec{e_2})\cdot(v_1\vec{e_1})+(u_2\vec{e_2})\cdot(v_2\vec{e_2})=$[/math][br][math]$=u_1v_1(\vec{e_1}\cdot\vec{e_1})+u_1v_2(\vec{e_1}\cdot\vec{e_2})+u_2v_1(\vec{e_2}\cdot\vec{e_1})+u_2v_2(\vec{e_2}\cdot\vec{e_2})=$[/math][br][math]$=u_1v_1\times 1+u_1v_2\times 0+u_2v_1\times 0+u_2v_2\times 1=$[/math][br][math]$=u_1v_1+u_2v_2$[/math][br]Temos o pretendido demonstrado.[br][br][br]Se fixarmos um referencial ortonormado no espaço, [math]$Oxyz$[/math], de modo análogo se reconhece que:[br][br][b]Proposição[/b][br]Sejam [math]$\vec{u}(u_1,u_2,u_3)$[/math] e [math]$\vec{v}(v_1,v_2,v_3)$[/math] dois vetores do espaço.[br]Então [math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1\times v_1+u_2\times v_2+u_3\times v_3$[/math].