A x = b[br]Ab: Matrix A erweitert um Vektor b (rechte Spalte)[br]r: Rang Matrix A[br]n: Spaltenzahl A[br]Rref[sub]Ab[/sub] Zeilenstufenform Ab[br][math]Rref_{Ab} \, := \, \left(\begin{array}{rrrrrrr}1&0&0&2&0&4&-4\\0&1&0&1&0&-2&0\\0&0&1&-2&0&4&4\\0&0&0&0&1&-2&-1\\\end{array}\right)[/math][br]rechte Spalte Lösungsvektor [br]freie Variablen ermitteln und mit t[sub]i[/sub] bezeichnen [br][math]freevar \, := \, \left\{ x4 = t_1, x6 = t_2 \right\} [/math][br]Rref[sub]Ab[/sub] Lösung per solve (Rückwärts einsetzen) ermitteln und kontrolle der Lösung[br]IL Lösungsraum der mittels solve erstellten Lösung[br][math]IL \, := \, \left(\begin{array}{r}-2 \; t_1 - 4 \; t_2 - 4\\-t_1 + 2 \; t_2\\2 \; t_1 - 4 \; t_2 + 4\\t_1\\2 \; t_2 - 1\\t_2\\\end{array}\right)[/math][br][br][size=150]Lösung homogenes LGS über Basis Kern (Ax=0)[/size] [br]+ Lösung inhomogenes LGS (Ax=b)[br]xch Spaltenfehlstände ermitteln [br]A x = b [math]\rightarrow[/math] A Tκ [i]Tκ x [/i]= b [math]\Longrightarrow[/math] Spaltentausch in A führt zu Zeilentausch in x[br]Tκ Tauschmatrix um einen Block der Einheitsmatrix entsprechend dem Rang r herzustellen[br][br][math]\large RRef = RRef_{m × n}, \left(\begin{array}{rr}id_{r × r}&K_{r \times n-r}\\0&0\\\end{array}\right) \quad \to \quad Kern = \left(\begin{array}{r}K_{r \times n-r}\\-id_{n-r × n-r}\\\end{array}\right) [/math][br][br]Rref[sub]A[/sub] Zeilenstufenform von A, Lösungsvektor b von Rref[sub]Ab[/sub] abschneiden [color=#ff0000](Spalte 4<->5 getauscht)[/color][br][math]Rref_A \, := \, \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&0&0&2&4\\0&1&0&0&1&-2\\0&0&1&0&-2&4\\0&0&0&1&0&-2\\\end{array}\right)[/math][br]Zeilenanzahl des Kerns K[sub]r,n-r[/sub] auf n durch -id[sub]n-r[/sub] erweitern und ggf. Tausch rückgäging machen [br][color=#ff0000](Zeile 4<->5 getauscht - notiert in Tκ[/color]. [br][math]Rref_A \,\to \, \left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{4}\\\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{-2}\\\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{4}\\\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{-2}\\\end{array}\right)\;\to \,Tκ\, \left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{4}\\\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{-2}\\\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{4}\\\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{-2}\\-1&0\\0&-1\\\end{array}\right) \to kern_A \, := \, \left(\begin{array}{rr}\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{4}\\\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{-2}\\\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{4}\\-1&0\\\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{-2}\\0&-1\\\end{array}\right)[/math][br]Kern überprüfen: A Kern[sub]A[/sub] = 0[br]Spezielle Lösung für Ax=b ermitteln, auslesen letzte Spalte Rref[sub]AB[/sub] (0en auffüllen, Tκ Tausch zurück): A[sub]b[/sub] [br][math]Rref_{A\textcolor{red}{b}} \, := \, \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{-4}\\\textcolor{red}{0}\\\textcolor{red}{4}\\\textcolor{red}{-1}\\\end{array}\right)\to \,Tκ\, \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{-4}\\\textcolor{red}{0}\\\textcolor{red}{4}\\\textcolor{red}{-1}\\{0}\\0\\\end{array}\right) \to A_b \, := \, \left(\begin{array}{r}\textcolor{red}{-4}\\\textcolor{red}{0}\\\textcolor{red}{4}\\0\\\textcolor{red}{-1}\\0\\\end{array}\right)[/math][br]A A[sub]b[/sub] = b[br]freie Variablen ermitteln und mit t[sub]i[/sub] bezeichnen [br]IIL Lösungsraum aus den Basisvektoren des Kerns + Spezieller Lösungsvektor A[sub]b[/sub] [br][br][math] \left\{ \left(\begin{array}{rrrrrr}4&0&8&-8&8&32\\3&1&2&3&5&8\\1&0&-1&4&-3&6\\-2&0&1&-6&4&-12\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}-2 \; t_1 - 4 \; t_2 - 4\\-t_1 + 2 \; t_2 \qquad\\2 \; t_1 - 4 \; t_2 \,+ 4\\t_1\, \qquad \qquad \, \\2 \; t_2 - 1\\t_2 \qquad \\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}8\\-9\\-5\\8\\\end{array}\right) \right\} [/math][br][br]LGS zusammenstellen und[br]Lösung prüfen[br]