[b][size=150]La funzione f(x)=a[sup]x[/sup] varia in genere (non lo varia solo per a=1) il suo valore al variare della x. Nell'intervallo [0,h] dell'asse delle ascisse essa varia da f(0)=1 a f(h)[b][size=150];[/size][/b][/size][size=150][size=150] quindi varia di[/size][/size][size=150] f(x+h)-f(x) con x=0, quindi di: f(h)-f(0). [br]La variazione dell'ascissa si indica in genere con Δx, quella dell'ordinata con Δy. Pertanto, siccome il primo estremo dell'intervallo è 0, si ha: [br]Δx=h-0=h e Δy=[/size][size=150][size=150]f(h)-f(0).[/size][/size][size=150][br][br]Il rapporto v(a,h) := [math]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}=\frac{a^h-1}{h}[/math] è detto "velocità di crescita" di f nell'intervallo [0,h].[br]Il suo limite: v(a) := [/size][math]\lim_{h\to0}v(a,h)[/math][size=150][br]è detto "velocità istantanea" (o semplicemente "velocità") di f in x=0.[br][br]La necessità del limite per h→0 nasce dal fatto che (come puoi verificare agendo sullo slider h ponendolo al valore nullo) per h=0 tale rapporto perde di significato (diventerebbe 0/0). [/size][/b]

[b][size=150]Come hai potuto notare ci sono diversi valori di approssimazione per il numero di Nepero.[br]Ciò dipende dal fatto che Geogebra non ha effettivamente potuto svolgere il limite per h che tende a 0 (si è limitatato ha porre h ad un valore piccolo, e precisamente 0.001) e dal fatto che ci vorrebbe un'espressione matematica che esprimesse effettivamente v(a) per poter poi procedere a risolvere l'equazione v(a)=1, sempre che tale risoluzione poi sia effettivamente possibile. [br]Alla fine di questa attività scoprirai che una tale funzione esiste, e si indica con ln(x); ossia si ha che v(a)=ln(a). [br]Tuttavia questa funzione "ln" (che ti preannuncio si chiama "logaritmo naturale") è proprio definita a partire dal numero di Nepero (o, più avanzatamente, tramite il calcolo integrale).[br]Pertanto non la si può trovare se non si è prima definito il numero [i]e[/i] stesso.[/size][/b]