[b][i][size=50][right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t][u][color=#0000ff][i][b]Darboux Cycliden & bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color][/u][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][/size][br][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des[i][b] [color=#980000]geogebra-books[/color][/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][/size][/right][/size][br][br][/i]3[/b] [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#134F5C][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color]: [br][size=85]Die Flächen sind paarweise [i][b]orthogonal [/b][/i][size=50](dazu unten mehr *)[/size]. [br]Die beiden farbigen Flächen werden jeweils überdeckt von den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] einer [color=#ff0000][i][b]Kreisschar[/b][/i][/color].[br]Diese Kreise gehen durch die Punkte [math]\pm S_z=\pm\left(0,0,1\right)[/math].[br]Die [i][b]3. Fläche[/b][/i] ist eine [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] aus dem Kugelbüschel um diese beiden Punkte.[br]Die beiden farbigen Flächen schneiden die [math]xy[/math]-Ebene in 2 [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartike[/b][/i][i][b]n[/b][/i][/color].[br]Untereinander schneiden sie sich in [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[br]Beweglich sind [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und damit die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], und die [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] [color=#ff7700][b]s[/b][/color] und [color=#0000ff][b]s0[sub]y[/sub].[/b][/color][br]Auf den beiden farbigen Flächen gibt es weitere [color=#ff0000][i][b]Kreisscharen[/b][/i][/color], welche die Flächen überdecken ([math]\hookrightarrow[/math] siehe [url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t#material/qpjexkyc]die nächste Aktivität[/url]).[br]Die Flächen sind [i][b]k e i n e[/b][/i] [color=#ff00ff][i][b]Dupin-Cycliden[/b][/i][/color]![br][br]*) [size=50]Nach dem [b]Satz von Dupin[/b] schneiden sich die Flächen eines [color=#0000ff][i][b]dreifachen Orthogonal-Systems von Flächen[/b][/i][/color] in den [color=#ff7700][i][b]Krümmngslinien[/b][/i][/color],[br][color=#ff7700][i][b]Krümmungslinien[/b][/i][/color] sind die Kurven längs der [i][b]Hauptkrümmungsrichtungen[/b][/i] einer Fläche.[br]In der [color=#ff0000][i][b]Ebene [/b][/i][/color]und auf der [color=#ff0000][i][b]Kugel [/b][/i][/color]gibt es keine [i][b]Hauptkrümmungsrichtungen[/b][/i].[br]Auf den farbigen Flächen oben sind also die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color], in welchen sie sich schneiden, [color=#ff7700][i][b]Krümmungslinien[/b][/i][/color]. [br]Die Schnitte mit den [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] sind recht gut erkennbar: es sind [i][b]2-teilige[/b][/i] Kurven.[br]Es liegt nahe zu vermuten, dass es sich um [color=#ff7700][i][b]2-teilige bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] handeln wird![br]Kurven diesen Typs besitzen 4 [color=#ff0000][i][b]konzyklische[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]. Wo liegen diese [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], die für alle Schnittkurven mit einer dieser [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] gleich sein sollten? [br]Läßt man die [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkte[/b][/i][/color] [color=#ff7700][b]s[/b][/color] oder [color=#073763][b]s0[sub]x[/sub][/b][/color] in der [math]xy[/math]-Ebene gegen den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt [/b][/i][b]f[/b][/color] gehen, so gehen die beiden bunten Flächen[br]gegen doppelt-zählende ebene Flächenstücke, welche berandet werden von den [color=#0B5394][i][b]Fokal-Kurven[/b][/i][/color]:[br]hier sind dies die [color=#6d9eeb][color=#000000]beiden[/color][i][b] [color=#38761D]Fokal-Kreise[/color][/b][/i][/color] durch die Büschelpunkte [math]\pm S_z[/math] und die (komplexen) [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color], [color=#00ff00][b]-f[/b][/color], [color=#00ff00][b]1/f[/b][/color], [color=#00ff00][b]-1/f[/b][/color]. [br]Diese [color=#38761D][i][b]Kreise[/b][/i][/color] schneiden jede der orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] in den konzyklischen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] der [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] Schnittkurven![br][/size][/size]