No todas las superficies son orientables. La [b]cinta de Möbius[/b] (también llamada banda de Möbius) es el ejemplo más destacado de [b]superficie no orientable[/b]. [br][br]En la aplicación mostrada a continuación a la derecha se representan una cinta de Möbius y un cilindro, y sobre cada una de ellas una circunferencia en color blanco. A la izquierda se muestran la proyección en el plano horizontal de ambas circunferencias, la superior corresponde a la cinta de Möbius y la inferior al cilindro. Con esta aplicación se ilustrará que la cinta de Möbius solo tiene una cara mientras que el cilindro tiene dos.

Tanto en la cinta de Möbius como en el cilindro se muestra un punto de la superficie (sobre la circunferencia en blanco) y cuatro vectores sobre el punto: dos de ellos tangentes a la superficie (en azul y verde), un vector normal a la superficie (en rojo) y su "opuesto" (en naranja) también normal a la superficie. Los vectores azul, verde y rojo (en este orden) constituyen un marco de acuerdo a la regla de la mano derecha (es decir, se tiene el producto vectorial azul[math]\times[/math]verde[math]\text{=}[/math]rojo).[br][br]En la aplicación a la izquierda, sobre las proyecciones de los círculos se muestran también las proyecciones de los correspondientes puntos y vectores normales (rojo y naranja) . [br][br]Al darle al botón de "play" se desplazan los puntos sobre sendas circunferencias, en la cinta de Möbius y en el cilindro, y se de manera acorde se mueven los vectores rojo, azul y verde (el naranja se mantiene fijo en el punto incial). Se observa que el comportamiento de los vectores es distinto en cada superficie. Al dar una vuelta completa y volver al punto inicial de la curva:[br][list][*]en la cinta de Möbius, el vector rojo coincide en su posición con el naranja y el verde se ha dado la vuelta,[/*][*]en el cilindro, los tres vectores vuelven a su posición original, y el vector rojo no coincide con el vector naranja. [/*][/list][br]Al finalizar la segunda vuelta, ambos marcos vuelven a su posición incial. Este comportamiento se repite de manera que al completar un número impar de vueltas, en la cinta de Möbius el vector rojo y naranja coinciden en su posición mientras que al completar un número par de vueltas, son vectores opuestos.[br][br]En conclusión:[br][list][*]No se puede distinguir el vector rojo del naranja en la cinta de Möbius, o dicho de otra manera, no se pueden distinguir la cara "interna" y "externa" en la cinta de Möbius.[/*][*]El cilindro tiene una cara externa (representada por el vector rojo) y una interna (representada por el vector naranja).[br][/*][/list][br]La banda de Möbius no es orientable (no podemos decidir en qué "lado" de la cinta estamos) y el cilindro sí lo es.[br]