Im 18. Jahrhundert gehörte Basel in der Schweiz zu den Zentren der Mathematiker, zu den auch [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler]Leonard Euler [/url]gehört, der in Basel geboren wurde. In der Tradition der zeit stand, dass Probleme durchaus nach den Städten benannt wurde, in denen daran gearbeitet wurde, wie das [b][color=#ff7700]Basler Problem[/color][/b], das im nachfolgenden Applet skizziert wird. [br]Um zu verstehen, um was es geht hier ein kleiner Einstieg:[br]Wenn man alle Brüche der Form [math]\frac{1}{n}[/math] [b][size=50](Diese Brüche heißen Stammbrüche!)[/size][/b], mit n [math]\in\mathbb{N}[/math] addiert, lässt sich schnell erkennen, dass diese Summe unendlich groß wird:[br][br]1 + [math]\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}[/math][br][br][math]\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}[/math][center][/center][math]\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\ge\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\ge\frac{1}{2}[/math][br][br]Es lassen sich also immer [b]Teilsummen[/b] bilden, die größer als [math]\frac{1}{2}[/math] sind, so dass es darauf hinausläuft, [b][color=#ff0000]mindestens[/color][/b] den Bruch [math]\frac{1}{2}[/math] unendlich oft aufzuaddieren, was natürlich gegen unendlich wächst. Dann müssen Summen, die größer als [math]\frac{1}{2}[/math]sind, erst recht gegen unendlich wachsen. Man sagt, die Reihe divergiert. Diese Reihe nennt man die [b]harmonische Reihe[/b]. [br]Wenn Ihnen diese Begründung zu zahlenlastig ist, nutzen Sie das 2. Applet am Ende dieses Kapitels, in dem die Divergenz der harmonischen Reihe geometrische visualisiert ist.[br][br]Das die harmonische Reihe divergent ist, war den Mathematiker schon klar, aber gilt das auch, wenn man anstatt der Stammbrüche die [b]reziproken Quadrate[/b] addiert?[br]Erstaunlicherweise, konvergiert diese Summe gegen einen Grenzwert, nämlich [math]\frac{\pi^2}{6}[/math]

... ist eine allgemeine nichtmathematische Beschreibung dafür, dass man Kleinigkeiten nicht vernachlässigen sollte, weil viele Kleinigkeiten irgendwann auch [b]richtig viel [/b]werden können, wenn auch sehr langsam.[br]Für die unendliche Reihe [math]\frac{1}{n}[/math] wurde zu Beginn dieses Kapitels mit Hilfe des [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium][b]Minorantenkriteriums[/b] [/url]gezeigt, dass die Summe [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] gegen unendlich ([math]\infty[/math]) wächst. [br]Das nachfolgende Applet zeigt eine [b][color=#00ffff]geometrische [/color][/b]Interpretation dieser Eigenschaft.[br]