方程式の根と係数の関係

Bunryu Kamimura, Jul 13, 2016

[b]方程式の係数[/b]⇔[b]方程式の根[/b]の間の関係を調べてみよう。 まず、根⇒方程式は対称式を使えば簡単。 では、方程式⇒根は？・・・解の公式？ 二次方程式から五次方程式までを調べてみる。 根とグラフとの関係が一目瞭然。 それから体論の面白さへと拡がっていけばいいな。

Table of Contents

  1. 根から係数を求める
    1. 根から係数（方程式）へ
    2. 根から方程式へ・・・グラフ
    3. a±b√2を根とする方程式
    4. a+b√2を根とする方程式
    5. 重根を持つ関数の微分
  2. 係数から根を求める
    1. 二次方程式の根はどこへ？
    2. 二次方程式の根
    3. 二次方程式の冪根表現
    4. 二次方程式の係数と根の関係
    5. 二次方程式の根の意味
    6. 三次方程式の根
    7. 三次方程式の根の変化
    8. 四次方程式の係数と根の関係
    9. 四次方程式の根
  3. 根の意味
    1. 二次方程式の根の意味その２
    2. 三次方程式の複素数展開
    3. 四次方程式の複素数根
    4. 五次方程式の根の表現
    5. ｘ＾ｎ－１＝０の解
    6. 2次方程式の虚根の意味（実部）
    7. ２次方程式の虚根の意味
    8. ２次方程式の根の位置
    9. ２次方程式を平面と空間で同時に表す
    10. ３次方程式の虚根の意味（３次曲線）
    11. ３次方程式の虚根
    12. ４次方程式の根の図
    13. ５次方程式の虚根
    14. 複素関数としての２次方程式
  4. ２次曲線と２次曲面
    1. ２次方程式の双曲線
    2. ２次曲線の分類
    3. ２次曲面
    4. ２次曲面２
    5. ２次曲面３
    6. ２次曲面の分類
  5. ３次曲線と３次曲面
    1. ３次曲線の分類
    2. ３次曲線の分類（三次関数）
    3. ３次曲線の分類（三次方程式の実部）
    4. ３次曲線の分類　その１
    5. ３次曲線の分類　その２
    6. ３次曲線の分類　その３
    7. ３次曲線の分類
    8. ３次曲面
    9. z=x^3+y^3+xy
    10. x^3+y^3+x^2y+xy^2+xy+x+y
    11. 三次曲面（３次方程式）
    12. ax^3+bx^2+cx+d=0
  6. 多項式
    1. ユークリッドの互除法
    2. 係数が整数の方程式の根
    3. 整係数の３次方程式

1.

根から係数を求める

方程式の根から方程式を求めることは、展開をしてみるとすぐにわかります。 方程式の係数と根の間には対称的な関係（対称式）があります。 これが、方程式の図形を規定しています。

  • 1. 根から係数（方程式）へ
  • 2. 根から方程式へ・・・グラフ
  • 3. a±b√2を根とする方程式
  • 4. a+b√2を根とする方程式
  • 5. 重根を持つ関数の微分

1.1.

根から係数（方程式）へ

根から係数を求めることは簡単にできる。[br][br]根が全て１の場合はパスカルの三角形になる。[br]根が有理数なら係数は必ず有理数になる。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

係数から根を求める

根から係数を求めることは簡単でした。 では、係数から根を求めるにはどうしたら良いのでしょうか？ いわゆる、方程式の解の公式ですが、ここでは二次方程式の解の公式だけを使って、三次・四次方程式の根を求めてみましょう。

  • 1. 二次方程式の根はどこへ？
  • 2. 二次方程式の根
  • 3. 二次方程式の冪根表現
  • 4. 二次方程式の係数と根の関係
  • 5. 二次方程式の根の意味
  • 6. 三次方程式の根
  • 7. 三次方程式の根の変化
  • 8. 四次方程式の係数と根の関係
  • 9. 四次方程式の根

2.1.

二次方程式の根はどこへ？

この方程式の根は、赤い点（ｘ軸との交点）。では、グラフを動かして、上に持ち上げると、根はどこに行ったのだろうか？
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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3.

根の意味

方程式の実根はグラフに現われますが、虚根はグラフには現れません。どうしたら良いのでしょうか。 ガウスは、実軸と虚軸を組み合わせたガウス平面を考えました。 ガウス平面で考えると、方程式の根の意味がとてもつかみやすくなり、視覚化できます。 でも平面で見ているかぎり、二つの図形の関連がわかりません。 そこで、ガウス平面上にｚ軸を入れて空間にします。

  • 1. 二次方程式の根の意味その２
  • 2. 三次方程式の複素数展開
  • 3. 四次方程式の複素数根
  • 4. 五次方程式の根の表現
  • 5. ｘ＾ｎ－１＝０の解
  • 6. 2次方程式の虚根の意味（実部）
  • 7. ２次方程式の虚根の意味
  • 8. ２次方程式の根の位置
  • 9. ２次方程式を平面と空間で同時に表す
  • 10. ３次方程式の虚根の意味（３次曲線）
  • 11. ３次方程式の虚根
  • 12. ４次方程式の根の図
  • 13. ５次方程式の虚根
  • 14. 複素関数としての２次方程式

3.1.

二次方程式の根の意味その２

方程式の根を実部と虚部に分けて考えると・・・実部は双曲線で虚部は２本の直線となる。[br]ガウス平面で統一できるので、こちらの方がわかり易いかな。[br]双曲線（面）が本体で、放物線は複素数から見るとほんの一面である。[br]また、二次方程式の根は徹底的に対称であることがわかる。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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3.11.

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3.12.

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3.13.

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3.14.

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4.

２次曲線と２次曲面

２次方程式の曲線と２次曲線を比べてみます。 これらの曲線が空間の２次曲面から生まれていることが見えてきます。 では、どんな２次曲面があるのでしょうか。 そして、二次方程式の曲面はそのうちのどれなのか。

  • 1. ２次方程式の双曲線
  • 2. ２次曲線の分類
  • 3. ２次曲面
  • 4. ２次曲面２
  • 5. ２次曲面３
  • 6. ２次曲面の分類

4.1.

２次方程式の双曲線

２次方程式の実部は双曲線である。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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5.

３次曲線と３次曲面

根の実部の式の図形を調べるために、方程式に対応する図形を考えます。 ２次方程式の実部は２次曲線で虚部は直線、３次方程式の実部は３次曲線で虚部は双曲線でした。 そして、それぞれ正面図と平面図に当たります。 次に、一般の三次曲線の変化はとても面白いですが、それを曲面にするとなぜそういう変化になるのかがわかります。 そして、どの場合が３次方程式の根の実部にあたるのか調べます。 やはり対称性がポイントですね。

  • 1. ３次曲線の分類
  • 2. ３次曲線の分類（三次関数）
  • 3. ３次曲線の分類（三次方程式の実部）
  • 4. ３次曲線の分類　その１
  • 5. ３次曲線の分類　その２
  • 6. ３次曲線の分類　その３
  • 7. ３次曲線の分類
  • 8. ３次曲面
  • 9. z=x^3+y^3+xy
  • 10. x^3+y^3+x^2y+xy^2+xy+x+y
  • 11. 三次曲面（３次方程式）
  • 12. ax^3+bx^2+cx+d=0

5.1.

３次曲線の分類

３次方程式の実部と４次方程式の虚部の曲線を調べると３次曲線である。[br]まず、一般の３次曲線の分類をしてみよう。[br]方程式の場合はそのどれにあたるのだろうか？
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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5.12.

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6.

多項式

有理係数多項式は環をなす

  • 1. ユークリッドの互除法
  • 2. 係数が整数の方程式の根
  • 3. 整係数の３次方程式

6.1.

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法とは、ａとｂの最大公約数を図形で求める方法。[br] [u])a b[/u] で素因数分解するよりもわかり易く、応用も広い。[br]このやり方でやれば必ず最大公約数を求めることができる世界最古のアルゴリズム。[br]数論だけど図形を用いているので幾何学といっても良い。[br]意味は下の図で確認できる。
右上の式を順番に確かめながらチェックしていってください。
確かめ
[b]４２と２６の最大公約数を求めることは、この長方形を敷き詰めることのできる最も大きな正方形を求めることと同じである。[/b][br]　２で余りがなくなったのだから、２×４は２×２の正方形で敷き詰められる。[br]　２×４が敷き詰められるのだから、４×４は当然２×２の正方形で敷き詰められる。・・・⑤[br]　つまり４×６が敷き詰められるということ。[br]　４×６が敷き詰められるのだから、６×６も２の正方形で敷き詰められる。・・・④[br]　つまり６×１０も敷き詰められる。[br]　以下同様。[br]　よって、４２×２６の長方形は２×２の正方形で敷き詰めることができる。[br]　この２×２はこの長方形を敷き詰められる最も大きな正方形である。
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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