Estas superficies se obtienen al hacer girar una circunferencia o una elipse alrededor de un eje, al tiempo que la trasladamos en la dirección de ese eje, aumentamos su tamaño y la alejamos del eje.[br][list][*]Según La forma de hacer las traslaciones y aumentar el tamaño, la superficie tendrá una forma diferente.[/*][*]Más concretamente, dependiendo de si los diámetros y la distancia al eje son constantes o no, obtendremos conchas de caracol, hélices, toros, etc.[br][/*][/list][br]En la siguiente actividad podemos ver una concha de caracol:

Para generar una concha de caracol, podemos partir de una circunferencia o una elipse y [br][list][*]hacerla girar [i]n[/i] veces alrededor de un eje,[/*][*]a la vez que aplicamos una traslación en la dirección del eje. [/*][*]Como la sección de la concha va disminuyendo/aumentando, también aplicamos un factor de escala. Mantenemos las circunferencias tangentes al eje de rotación.[/*][*]En la última vuelta, el centro de la correspondiente circunferencia estará a una altura [math]h_n[/math] y una distancia [math]r_n[/math] del eje.[br][/*][*]Por ejemplo, podemos utilizar crecimiento exponencial, con funciones como [math]r(u)=r_n\cdot\frac{ℯ^{\Large{\frac{u}{2\pi\cdot n}}}-1}{ℯ-1}[/math], o bien [math]h(u)=(h_n+1)^{\Large\frac{u}{2\pi\cdot n}}-1[/math], o cualesquiera otras crecientes que se anulen para [i]u=0[/i] y, para [math]u=2\pi\cdot n[/math] valgan [math]r_n[/math] y [math]h_n[/math], respectivamente.[br][br][/*][/list]Con esto, una modelización de la concha de caracol en ecuaciones paramétricas cartesianas sería[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rll}[br]x=& &\phantom{-}\left(r{\small(u)}\cdot cos(v)+r{\small(u)}\right)cos(u)[br]\\[br]y=& &\phantom{-}\left(r{\small(u)} \cdot cos(v)+r{\small(u)}\right)sen(u), [br]\\[br]z=&\!\!\!h{\small(u)}\!\!\!&+ \phantom{(}r{\small(u)}\cdot sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}[br][/math][/center][list][*]Los factores [i]cos(u)[/i] y [i]sen(u)[/i] que aparecen en las expresiones para [i]x[/i] e [i]y[/i], son los utilizados para girar alrededor del eje que, en este caso, se ha tomado vertical.[/*][*]Mientras giramos, construimos las circunferencias de radio [i]r(u)[/i] correspondientes a cada ángulo girado [i]u[/i], utilizando la componente [i]z[/i].[br][list][*]Para ello, incluimos el factor[i] r(u)·sen(v)[/i] en esa componente [i]z[/i]. [/*][*]Para que sean tangentes al eje, deben distar de él [i]f(u)[/i], por ser ese su radio. [br]Así que, en las componentes [i]x[/i] e [i]y[/i], aparece el factor [math]r(u)cos(v)+r(u)=r(u)·(cos(v)+1)[/math] que también podríamos reescribir utilizando la identidad [math]cos(v)+1=2cos^2\left(\frac{v}{2}\right)[/math].[br][/*][/list][/*][*]Si queremos que las secciones resulten elipses, tales que el cociente entre su eje vertical y horizontal sea [i]k[/i], bastará con reemplazar la expresión de [i]z[/i] por [i]z=h(u)+k · r(u)·sen(v)[/i].[br][/*][/list]

Podemos separar el centro de cada circunferencia una distancia [i]R(u)[/i] del eje sin más que reemplazar el sumando [i]r(u)[/i] por [i]R(u)[/i] en las expresiones de x e y antes de multiplicar por [i]cos(u)[/i] y [i]sen(v)[/i].[br][br]En particular, tomando[br][list][*]Una vuelta (n=1), el radio de cada circunferencia constante [i]r[/i], una separación constante [i]R[/i] y altura h=0, tendremos la ecuación del [b]toro[/b].[center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rl}[br]x=&\left(r\cdot cos(v)+R\right)cos(u)[br]\\[br]y=&\left(r \cdot cos(v)+R\right)sen(u), [br]\\[br]z=&\phantom{(}r\cdot sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{0\leq u,v< 2\pi}.[br][/math][/center][/*][*]Tomando el radio y separación de cada circunferencia constante y [math]h{\small(u)}:=h\cdot\frac{u}{2\pi\cdot n}[/math] lineal, resulta una [b]hélice[/b] de radio de giro [i]R[/i], sección de radio r y [i]n[/i] vueltas de paso [i]h[/i].[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rll}[br]x=& &\phantom{-}\left(r\cdot cos(v)+R\right)cos(u)[br]\\[br]y=& &\phantom{-}\left(r \cdot cos(v)+R\right)sen(u), [br]\\[br]z=&\!\!\!h\frac{u}{2\pi\cdot n}\!\!\!&+ \phantom{(}r\cdot sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}[br][/math][/center][/*][*]Tomando como [i]R[/i] una función lineal, tendríamos una hélice cónica.[br][/*][/list]Con la siguiente actividad, podemos explorar algunas posibilidades:

Otro caso particular serían las superficies tipo "sacacorchos", que se obtienen como las anteriores, pero situando el centro de las circunferencias sobre el eje (R=0).[br]La ecuación paramétrica resultaría, por tanto:[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rll}[br]x=& &\phantom{-}r\cdot cos(v)\cdot cos(u)[br]\\[br]y=& &\phantom{-}r \cdot cos(v)\cdot sen(u), [br]\\[br]z=&\!\!\!h\frac{u}{2\pi\cdot n}\!\!\!&+r\cdot sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}[br][/math][/center]