[right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist Teil des [color=#980000][b]GeoGebra-Books [color=#0000ff][i][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/i][/color][/b][/color] ([color=#ff7700][i][b]Januar 2022[/b][/i][/color])[/size][/size][/right][size=85]Eine wesentliche Motivation für dieses [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color] ist die wohl weiterhin [color=#9900ff][i][b]unbeantwortete Frage[/b][/i][/color] von [i][b]W. Blaschke[/b][/i] ([b]1938[/b]) [br]nach allen [color=#ff7700][i][b]Sechseck-Netzen[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] ([color=#ff7700][i][b]2022[/b][/i][/color]).[br]Die [color=#9900ff][i][b]Teilfrage[/b][/i][/color] nach allen [color=#ff7700][i][b]Sechseck-Netzen[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color] haben wir [b]1983[/b] beantwortet. [br]In dem hier vorliegenden [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] sind alle diese [color=#ff7700][i][b]Netze[/b][/i][/color] aufgeführt und angezeigt. Der Nachweis ([b]1983[/b]), dass es keine [br]weiteren [color=#ff7700][i][b]Sechseck-Netze[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color] gibt, ist allerdings nur schwer nachvollziehbar.[br][color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] lassen sich unseren Erachtens am einfachsten in der Darstellung der [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] im komplexen [color=#38761D][i][b]Geradenraum[/b][/i][/color][br]untersuchen. Rechnerisch liegt eine algebraische Gleichung [/size][size=85][size=85]für das Vorliegen eines [color=#ff7700][i][b]Sechseck-Netzes[/b][/i][/color] aus den[color=#ff0000][i][b] Kreisen[/b][/i][/color] von [b]3[/b] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color] vor. [br][/size]Eine [color=#00ff00][i][b]einfache [/b][/i][/color]und [color=#1e84cc][i][b]geometrisch nachvollziehbare[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Bedingung[/b][/i][/color][/size] für solche [color=#ff7700][i][b]Sechseck-Netze[/b][/i][/color] ist uns leider (noch ?) nicht bekannt.[br][br]Auf die [i][b]allgemeine[/b][/i] [color=#9900ff][i][b]Frage[/b][/i][/color] von [i][b]W. Blaschke [/b][/i]gibt es einige Teilantworten: [i][b]W. Wunderlich[/b][/i] stellte dar ([b]1938[/b]), dass [b][br]3[/b] wesentlich [i]verschiedene[/i] Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] ein [color=#ff7700][i][b]Sechseck-Netz[/b][/i][/color] bilden.[br]Beispiele hierfür liefern auch die [color=#ff7700][i][b]Mittelpunktskegelschnitte[/b][/i][/color] und ihre [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierten[/b][/i][/color].[br]Im [i][b]Raum[/b][/i] [color=#38761D][b]3D[/b][/color] wird die Frage durch die Charakterisierung der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#0C343D][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color] beantwortet.[br][color=#cc0000][i][b]Ausnahme:[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise [/b][/i][/color]auf der [i][b]Riemann[/b][/i]schen [color=#0000ff][i][b]Zahlenkugel [/b][/i][color=#000000]oder [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] in einer Ebene.[/color][/color][br]Einige neue [color=#ff7700][i][b]Sechseck-Netze[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], welche in keines der bisher bekannten Muster passen, deuten [br]auf die Kniffligkeit des Problems hin![br][br][color=#38761D][i][b]Konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sind Lösungskurven von [color=#BF9000][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color] des Typs[br][/size][list][*][math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)[/math] [size=85]mit [/size][math]c,f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}[/math],[br][/*][/list][size=85]falls die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] der [b]4[/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] reell ist. [br]Dies ist der Fall, wenn die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] liegen (2-teilige [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color]), [br]oder wenn sie spiegelbildlich auf [b]2[/b] [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegen (1-teilige [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color][/size]),[br]oder wenn [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zusammenfallen - dann sind die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color][/size] [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierte[/b][/i][/color] von [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitten[/b][/i][/color], [br] - oder [color=#ff0000][color=#000000]das Produkt von 2[/color][i][b] Kreisen [/b][/i][color=#000000]eines[/color][i][b] Kreisbüschels[/b][/i][/color].[br][color=#274E13][i][b]Lösungsfunktionen[/b][/i][/color] [math]z\mapsto g\left(z\right)[/math] der [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]elliptischen Differentialgleichungen[/b][/i][/color][/size] sind komplexe [color=#274E13][i][b]meromorphe Funktionen[/b][/i][/color],[br]für welche die [color=#274E13][i][b]Parameterkurven[/b][/i][/color] [math]x\mapsto g\left(x+i\cdot y\right),\;y=\mathbf{const}[/math] und [math]y\mapsto g\left(x+i\cdot y\right),\;x=\mathbf{const}[/math] bei geeignetem [math]c\in\mathbb{C}[/math][br][color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sind, falls die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] reell ist.[br][br]Die einzelnen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] lassen sich konstruieren mit Hilfe der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise:[/b][/i][/color][br]ein Schlüssel für die Konstruktion sind die [color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. [br][br]Für die folgende auf [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color][/size] allgemein zutreffende Aussage ist uns bisher kein [br][color=#274E13][i][b]geometrisch[/b][/i][/color] und [color=#274E13][i][b]algebraisch[/b][/i][/color] einleuchtender und einfacher [color=#9900ff][i][b]Nachweis[/b][/i][/color] gelungen.[br][/size][list][*][size=100]Spiegelt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] [br]an den [color=#999999][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] einer Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color],[br]so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelbilder[/b][/i][/color] auf einem [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color]: dem zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color].[/size][/*][/list][size=85]Umgekehrt kann man zu den [color=#00ffff][i][b]Punkten[/b][/i][/color] auf einem [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] [br]die zugehörigen [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] und die [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkte[/b][/i][/color] konstruieren.[br][/size][br][size=85]Siehe die Übersicht auf der [math]\hookrightarrow[/math] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/m6ttgecg]nächsten Seite[/url].[/b][/i][/u][/color][/size][br][br][color=#cc0000][i][b][size=100]Für Hinweise, Ideen oder Beweise sind wir offen und sehr dankbar.[/size][/b][/i][/color]