数学上向量加法的定义如下图所示。

又因为向量我们只关心它的大小和方向，因此具有平移不变性，将向量u平移后使其与向量v共起点，会发现合向量正好处在图中平行四边形的对角线上，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

通过实验，我们可以验证力的合成满足平行四边形定则，且力也有大小和方向，因此力的合成就可以用数学里的向量工具来方便地描述。

通过前面的学习，我们发现力的合成本质上就是几个向量的加法，几个向量如果方向不在一条线上，合力的计算较为麻烦，但如果分力都在一条线上，那么只要建个系后，所有一条线上的力的矢量和全部能化成标量的加减，下面这个交互界面将带你理解背后的原因，让你理解为什么在列牛顿第二定律时，我们往往是先建一个系，且一般是沿着a的方向建立，然后同向的力取正，反向的取负，全部加起来后等于ma即可。

下面，为了进一步搞清楚在做大题时正负号的秘密，深入理解公式的本质，我们不仅要理解“为什么如果分力都在一条线上，那么只要建个系后，所有一条线上的力的矢量和全部能化成标量的加减”，而且还要理解在运用运动学的其他公式时，涉及到速度和位移等其他矢量时也是如此。[br][br]而速度和位移经常是用差值呈现的，背后的本质是向量的减法，为此，我们先要搞清楚数学中向量是如何作减法的。[br][br]数学中定义了与向量[math]\vec{a}[/math]长度相等，方向相反的向量，叫做向量[math]\vec{a}[/math]的相反向量，记作-[math]\vec{a}[/math][br]有了这个定义以后，我们就可以结合向量加法的定义来计算向量的减法了。

[br]我们知道，位移指的是初位置指向末位置的有向线段。并且物体做直线运动时，在建系后，末位置坐标减去初位置坐标后，得到的坐标差大小就是位移大小，正负号则表示与规定的正方向同向或者反向（这些都是课本上说过的内容），看到这些特点，我们不禁就想到它应该也可以用向量的运算来表达出来，事实也的确如此，我们定义位置矢量是从坐标原点指向物体所在位置的向量，那么位移就可以表达成末位置矢量和初位置矢量的差值，背后正是向量的减法运算。

我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰首尾相接，当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这三个力构成的矢量三角形必须始终保证首尾相接，随着形状发生改变，比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然。[br]三力动态平衡通常可分为三类情况：[br][b]类型I[/b]  三力中有一个力确定，即大小、方向不变（常常是重力），另一个力方向确定，而这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定[br][b]类型Ⅱ[/b]  三力中有一个力确定，即大小、方向不变（常常是重力），另一个力大小确定，而这个力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定[br][b]类型[/b][b]Ⅲ[/b]  三力中有一个力大小和方向确定，另二力方向变化有依据，判断二力大小变化情况。

[b]类型[/b][b]Ⅲ[/b]需要三力中有一个力大小和方向确定，另二力方向变化有依据，判断二力大小变化情况。而变化有依据的其中一种情形是夹角定，下面我们就来研究夹角定的情形。（[b]若一个力大小方向确定，另外两个力的夹角确定——用三角形外接圆法）[/b][br]

【例题1】如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，在其上某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N将重物向右上方缓慢拉起。初始时，OM竖直，OM⊥MN。保持OM与MN夹角不变，在OM由竖直被拉到水平的过程中（）[br][br]

由于OM上的张力和MN上的张力始终垂直，而直径所对的圆周角为[math]90^\circ[/math]，因此三个力构成的封闭矢量三角形可以放在一个圆中辅助分析。其中重力处在直径的位置。

【例题2】(2017年全国卷一）如图，柔软轻绳[i]ON[/i]的一端[i]O[/i]固定，其中间某点[i]M[/i]拴一重物，用手拉住绳的另一端[i]N[/i]，初始时，[i]OM[/i]竖直且[i]MN[/i]被拉直，[i]OM[/i]与[i]MN[/i]之间的夹角为[math]\alpha,\left(\alpha>\frac{\pi}{2}\right)[/math]，现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在[i]OM[/i]由竖直被拉到水平的过程中[br][br][br]

考虑到绳子OM和绳子MN上的张力夹角在首尾相连后是一个大小不变的锐角，而一个弦所对的圆周角也是不变的，因此此题也可以考虑放在圆里面辅助观察。