10. Klasse: Exponentialfunktion
Table of Contents
- Exponentielles Wachstum
- Anwendungsaufgaben zur Exponentialfunktion
- Modellierung von Wachstum
- Modellierung von Wachstum
- Verbesserung der Hausaufgabe
- Wiederholung
- Modellierung von Wachstum II
- Logarithmen
- Logarithmen
- Wiederholung
- Rechnen mit Logarithmen
- Übungsstunde
- Exponentialgleichungen
- Exponentialgleichungen
- Lösung der Aufgaben
- Mehr Übung
- C-14-Methode
- Abschluss des Kapitels
- Abschluss des Kapitels
Anwendungsaufgaben zur Exponentialfunktion
Wir erinnern uns an die allgemein Exponentialfunktion[math]f\left(x\right)=b\cdot a^x[/math]. Im Applet kannst du sie dir noch einmal veranschaulichen.
Wiederholungsfragen
Was beschreibt der Parameter b?
Was beschreibt der Parameter a?
Beschäftige dich hier noch ein bisschen mit der allgemeinen Exponentialfunktion. Wiederhole mit Hilfe der Schieberegler für welche Werte von a Wachstum bzw. Zerfall vorliegt. Untersuche wie die Funktion für negative Werte von b aussieht.[br][br]Solltest du hier noch Probleme haben, lies dir den Hefteintrag 2. Exponentialfunktion noch einmal durch.
Anwendungsaufgaben
Heute wollen wir uns noch einmal mit drei typischen Anwendungsaufgaben beschäftigen, nämlich Bankzinsen, Vermehrung von Bakterien und Radioaktiver Zerfall.[br][br]Für Aufgabe 1 findest du eine Erklärung im PDF-Format. Lies dir zuvor die Aufgaben durch und überlege, wie du sie lösen würdest. Eine komplette Berechnung vor dem Lesen der Erklärung ist aber optional.
Aufgabe 1: Jährliche Zinsen
Die Bank Sparhonke Investments wirbt mit einem Zinssatz, mit dem sich 1000€ in 10 Jahren verdoppeln.[br]
Frage 1
Im Term k(t), der den Kontostand k in € in Abhängigkeit der Zeit t in Jahren angibt, spielt die Zeitspanne 10 Jahre eine besondere Rolle. Benenne diese besondere Rolle.
Frage 2
Betrachte die Funktion [math]k\left(t\right)=b\cdot a^t[/math]. Hinter welcher Variable versteckt sich der Zinssatz?
Frage 3
Bestimme den Zinssatz.
Erklärung Aufgabe 1
Aufgabe 2: Bakterien
[justify]In einem Lebensmittelinstitut untersucht man das exponentielle Wachstum von Salmonellenbakterien. Um 9.00 Uhr wurde eine Bakterienkultur angesetzt, um 10.00 Uhr ein Bestand von 400 Bakterien festgestellt, der bis 12.00 Uhr auf eine Größe von 625 Bakterien anwuchs.[/justify]
Frage 1
Stelle einen Term B(t) auf, der die Entwicklung des Bestandes beschreibt, wobei t die seit 9.00 Uhr vergangene Zeit in Stunden angibt.
Frage 2
Berechne die Anzahl der Bakterien um 14:45.
Frage 3
Nach welcher Zeit (Stunden und Minuten) ist der Bestand auf 1500 Bakterien angewachsen?
Frage 4
Gib die Verdopplungszeit an.
[i]Hier kannst du dir die Funktion am Graph veranschaulichen. Gib einfach deinen errechneten Startwert und Wachstumsfaktor ein.[/i]
Aufgabe 3: Radioaktiver Zerfall
[size=100][justify]Zur Untersuchung der Schilddrüse wird in der Medizin radioaktives Jod 123 eingesetzt. Einem Patienten werden nur wenige Milligram dieser Substanz injiziert. Durch radioaktiven Zerfall nimmt die Masse m des radioaktiven Jods im Körper des Patienten ab. Nach jeweils 13,2 Stunden halbiert sich dabei die Menge des Jods 123.[/justify][/size]
Frage 1
Gib einen Term m(t) für die noch im Körper vorhandene Jod 123 Masse m in Abhängigkeit von der Zeit t an, wenn die Masse [math]m_0[/math] zum Zeitpunkt t = 0 injiziert wurde.[br][br]Tipp: Du hast für [math]m_0[/math] keinen genauen Wert gegeben, d.h. [math]m_0[/math] wird so im Term stehen bleiben.
Frage 2
Bestimme, wie viel Prozent der ursprünglichen Jodmasse sind nach 4,0 Stunden noch im Körper vorhanden sind.[br][br]Tipp: Lasse [math]m_0[/math] einfach als Parameter stehen und vereinfache dann so weit wie möglich. Im Term taucht ein Dezimalbruch auf, an dem du die Prozentzahl ablesen kannst.[br]
Frage 3
Ermittle, wie lange es dauert bis 90% des radioaktiven Jods im Körper zerfallen sind.[br][br]Tipp: Verfahre wie in Frage 2. Hier musst du allerdings t finden. Überlege auch wie viel Prozent dann noch im Körper sind.
[color=#274e13][b]Freiwillige zusätzliche Übungen:[/b][/color]
Modellierung von Wachstum
Prost!
Exponentielle Prozesse findet man auch in der außenmathematischen Welt überall. Ein klassisches Beispiel dafür liefert der Bierschaumzerfall. Doch wie zeigt man eigentlich, dass Bierschaum exponentiell zerfällt?[br][br]Wir bedienen uns dazu am Prinzip der [b][color=#6aa84f]Modellierung[/color]. [/b]Das bedeutet einfach nur, dass wir nach einem passenden mathematischen Modell, z.B. einer passenden Funktion, für gegebene Daten suchen.[br][br]Sieh dir das folgende Video zum Bierschaumzerfall an und trage jeweils die Werte zur Pause in die Tabelle darunter ein. Vorsicht: Bierschaum zerfällt von unten und oben.[br][br][size=85][size=50](Die Einschenkünste des Videouploaders lassen wir unkommentiert...)[/size][/size]
Das Applet nähert deine Daten ([color=#999999]graue Punkte[/color]) einer Exponentialfunktion ([color=#ff0000]rot[/color]) an. Der Funktionsterm wird dir unter dem Wort Regressionsmodell angezeigt.[br][br]Natürlich entspricht sie den Werten nicht perfekt. Das liegt zum einen daran, dass die Natur nicht perfekt funktioniert und zum anderen an der Ablesgenauigkeit.[br][br]Dieses Werkzeug heißt [b][color=#93c47d]Regression[/color][/b]. Du kannst im Applet auch mal das Regressionsmodell "linear" statt "exponentiell" auswählen. Du wirst sehen, dass die Exponentialfunktion hier am besten passt.
[size=150][color=#93c47d]Warum brauche ich das überhaupt?[br][/color][/size][br]Man versucht die Natur an mathematische Modelle anzupassen. Sie sind wichtige Hilfsmittel um reale Vorgänge, wie z.B. auch die Verbreitung von Krankheiten oder Bevölkerungszahlen, beschreiben zu können. So kann man Prognosen für zukünftige Entwicklungen erstellen.[br][br]Natürlich haben Modelle immer ihre Grenzen. Zum Beispiel kann die Entdeckung des Corona-Impfstoffes die Verbreitung des Virus verlangsamen. Genauso können Anlässe wie Weihnachten die Infektion anfeuern. Deswegen werden mathematische Modelle immer wieder überarbeitet.
Beispiel: Bevölkerungsentwicklung Gilching
Anhand dieser Daten können wir verschiedene Vorhersagen treffen. Dieses Beispiel halten wir in einem Hefteintrag fest. Die Tabelle zum Einfügen oder Einkleben findest du im heutigen Cloudordner.[br][br]Übertrage diesen Hefteintrag in dein Schulheft und schau dir das Erklärvideo dazu an. Dort erfährst du auch wie du eine Regression mit dem CAS-Rechner durchführen kannst.
Erklärvideo: Hefteintrag
Hefteintrag: 3. Modellieren von Wachstum
Aufgabe: Weltbevölkerung
Dieses Diagramm zeigt die Weltbevölkerung von Geburt Christi bis zum Jahr 2020.[br][br]
Halte in deinem Heft folgende Untersuchungen fest und schicke mir anschließend ein[color=#6aa84f] Bild deiner Ergebnisse via Chat[/color].[br][br]1. Gib eine Exponentialfunktionsterm an, der den Wachstum der Weltbevölkerung in Abhängigkeit des [br] Jahres modelliert.[br][br]2. Erkläre, wo die Genauigkeit dieses Funktionsterms Grenzen hat.[br][br]3. Bestimme, wann laut deinem Modell die 8-Milliarden-Menschen-Marke geknackt werden würde und [br] kommentiere die Genauigkeit dieses Ergebnisses.[br][br][br][br]Damit hast du es für heute geschafft. Nächste Stunde beschäftigen wir uns mit der Modellierung ohne CAS-Rechner.
Logarithmen
Einstiegsspiel
Wie schnell bist du im Kopfrechnen? In folgendem Spiel siehst du jeweils eine Exponentialgleichung. Wähle die richtige Lösung so schnell wie möglich. Du kannst entweder gegen den Computer oder gegen deine Klassenkameraden spielen.[br][br][color=#e06666][b]Achtung[/b][/color]: Im Computer wird eine Hochzahl oft durch das Zeichen ^ ausgedrückt. 2^x = 3 bedeutet also [math]2^x=3[/math]
Pferderennen
Das dürfte dir nicht allzu schwer gefallen sein. Was ist nun aber mit Gleichungen, wie zum Beispiel[br][br][math]7^x=16807[/math][br][br]Hier sieht man die Lösung sicherlich nicht auf den ersten Blick. Genau dazu brauchen wir eine neue Rechenoperation, nämlich den [b][color=#6aa84f]Logarithmus[/color].[br][/b][br][br]Sieh dir dazu das Erklärvideo an und übertrage den Hefteintrag.
Hefteintrag
Erklärvideo Hefteintrag
Am Taschenrechner musst du diese beiden Tasten drücken.
Wir üben nun den Umgang mit dieser neuen Rechenoperation. Bearbeite bei der folgenden [color=#6aa84f]Aufgabe 4 von 8 Teilaufgaben[/color].[br][br][color=#6aa84f]Buch S. 77[/color]
Hier findest du die Lösungen.
Jetzt üben wir das Eintippen in den Taschenrechner. Die Lösungen findest du im Lösungssalat.[br][br][color=#6aa84f]Buch S. 77[/color]
Das war noch nicht schwer. Lasst uns nun das Niveau ein bisschen anschrauben. Forme den Logarithmus um und nutze deine Kenntnisse über [color=#6aa84f][b]Potenzregeln[/b][/color]. Die Lösung findest du im Video darunter.[br][br][color=#6aa84f]Buch S. 77[/color]
Lösung
Wir üben gleich weiter. Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?
[math]log_{25}0,2=-0,5[/math]
[math]log_20,0625=-5[/math]
[math]log_2\left(-8\right)=3[/math]
[math]log_3\left(-81\right)^4=16[/math]
In einer letzten Übung von heute übst du noch einmal das Umschreiben des Logarithmus und das Hantieren mit den Potenzgesetzen. Löse dazu[color=#6aa84f][b] 4 der 8 Teilaufgaben[/b][/color].[br][br][color=#6aa84f]Buch S. 78[/color]
Beispielhafte Lösung zu Aufgabe d)
Exponentialgleichungen
[size=100]Im letzten Kapitel der Exponentialfunktionen lernen wir, wie man auch komplexere Exponentialfunktion ohne den CAS-Rechner lösen kann. Der Logarithmus ist hier ein hervorragendes Werkzeug, aber auch er Hilft nicht immer. Wir lernen [b][color=#38761d]drei Verfahren[/color][/b] kennen.[br][/size][br]Lies dir dazu zunächst die folgenden drei Beispiele durch. Im Hefteintrag findest noch mehr Beispiele, die im zugehörigen Erklärvideo auch noch einmal mündlich erklärt werden. Dieses Durcharbeiten wird einige Zeit in Anspruch nehmen. Löse im Anschluss die Aufgaben.
[b][color=#38761d][size=150]1. Exponentenvergleich[br][/size][/color][/b][br][size=100]Wenn links und rechts vom Gleichheitszeichen jeweils [b][color=#38761d]nur eine[/color][/b][color=#38761d] [/color]Potenz steht und auf beiden Seiten die [b][color=#38761d]Basis[/color][/b] der Potenz gleich ist, dann genügt es, wenn man nur noch die Exponenten der beiden Potenzen miteinander vergleicht. Hier arbeitest du so, wie wir jetzt auch schon Gleichungen im Logarithmus gelöst haben. Diese Methode mag dir manchmal als "zu einfach" erscheinen, aber glaub' mir, das geht.[br][/size][br]Auch Potenzregeln können dir helfen um zwei Basen gleich zu machen.
[b][color=#38761d]Warum eigentlich?[/color][/b][br][br]Das können wir tun, da wir mit Hilfe der Potenzregeln eigentlich alles auf eine Seite bringen und dann logarithmieren könnten. Deswegen funktioniert diese Methode auch [color=#38761d]NUR[/color] bei gleichen Basen.[br][br][math]a^{2x+1}=a^{x-7}[/math] |[math]:a^{x-7}[/math][br][math]\frac{a^{2x+1}}{a^{x-7}}=1[/math] Potenzgesetze[br][br][math]a^{2x+1-\left(x-7\right)}=1[/math][br][math]a^{x+8}=1[/math] |[math]log_a[/math][br][math]log_a1=x+8[/math] [br]Im Schritt vorher und spätestens hier weiß man schon, dass [math]x+8=0[/math] sein muss, damit das Ergebnis 1 ist. Also ich [math]x=-8[/math]. Diese Umformung kannst du dir durch den Exponentenvergleich allerdings sparen.
[b][color=#38761d][size=150]2. Logarithmus[br][/size][/color][/b][br][size=100]Sind die [b][color=#38761d]Basen[/color][/b] der Potenzen in denen die Variable als Exponent auftaucht [color=#38761d][b]unterschiedlich[/b][/color], muss man sich dem Logarithmus als Werkzeug bedienen.[br][br]Man versucht die Gleichung mithilfe der [color=#38761d][b]Potenzgesetze[/b][/color] so umzuformen, dass man dann den Logarithmus anwenden kann, um die Gleichung exponentenfrei zu schreiben. Zu welcher Basis man den Logarithmus wählt ist im Grunde egal, es empfiehlt sich aber eine Basis zu wählen, mit der man im Taschenrechner leicht rechnen kann (also meistens lg)[br][/size]
Die Schwierigkeit liegt hier oft darin, die Gleichung so umzuformen, dass man sinnvoll logarithmieren kann. Dazu ist die Kenntnis von [color=#38761d][b]Potenz- und Logarithmusgesetzen[/b][/color] essentiell. Der Logarithmus kann nicht angewendet werden, wenn auf einer der beiden Seiten noch eine Summe oder Differenz steht.[br][math]3+2^x=3^x\Leftrightarrow lg\left(3+2^x\right)=x\cdot lg3[/math] Die linke Seite kann man nicht weiter vereinfachen.[br][br]Hier noch ein etwas komplexeres Beispiel.
[b][color=#38761d][size=150]3. Substitution[br][/size][/color][/b][br][size=100]Kommt in der Exponentialgleichung [b][color=#38761d]nur eine Basis[/color][/b] vor, die aber [color=#38761d][b]unterschiedliche Potenzen [/b][/color]hat, kann man eine Substitution (=Ersetzung) durchführen. Man ersetzt dabei die Basis mit der Variablen durch eine[color=#38761d][b] neue Variable[/b][/color]. So erhält man eine Gleichung, die keine Variable im Exponenten mehr hat, also zu einer Potenzgleichung wird. Hat man diese vereinfachte Gleichung gelöst, muss man wieder zurücksubstituieren, um die richtige Lösung zu erhalten[/size].
Schreibe jetzt den [b][color=#38761d]Hefteintrag[/color][/b] ab und sieh dir das [color=#38761d][b]Erklärvideo[/b][/color] dazu an.
Erklärvideo
Für folgende Aufgabe gebe ich dir Tipps, welche Methode sich am besten eignet. Welche du wählst, ist dir selbst überlassen. Löse mindestens b), c) und f).[br][br][size=85]a) Logarithmus; b) Logarithmus; c) Substitution ([math]16=4^2[/math]); d) Logarithmus; e) Substitution; f) Exponentenvergleich[/size][br][color=#38761d][br]Buch S. 85[/color]
Sieh dir für die folgende Aufgabe die Beispiellösung zu 14 b) an und bearbeite dann a) und c). [br][color=#38761d]Buch S. 85[/color]
b)[br][math]3^{2x+1}-5^{x+1}=3^{2x}+5^x[/math] Potenzregeln[br][math]3^{2x}\cdot3^1-5^x\cdot5^1=3^{2x}+5^x[/math] |[math]+5^x\cdot5;-3^{2x}[/math][br][math]3^{2x}\cdot3-3^{2x}=5^x+5^x\cdot5[/math] [br][br]Fasse zusammen. Du muss hier nicht ausklammern. Ich tue es nur um den Rechenschritt zu verdeutlichen.[br][br][math]3^{2x}\cdot\left(3-1\right)=5^x\cdot\left(1+5\right)[/math][br][math]3^{2x}\cdot2=5^x\cdot6[/math] | lg[br][math]lg\left(3^{2x}\cdot2\right)=lg\left(5^x\cdot6\right)[/math] Logarithmusgesetze[br][math]2x\cdot lg3+lg2=x\cdot lg5+lg6[/math] auflösen[br][math]2x\cdot lg3-x\cdot lg5=lg6-lg2[/math] ausklammern[br][math]x\cdot\left(2\cdot lg3-lg5\right)=lg6-lg2[/math][br][math]x=\frac{lg6-lg2}{2\cdot lg3-lg5}\approx1,87[/math] In den Taschenrechner eintippen.[br][br][br][br][br][br][br]Hier findest du die ausführlichen Lösungen.
[b][color=#38761d]Freiwillige Übung:[/color][/b]
Abschluss des Kapitels
In diesem Kapitel hast du gelernt...[br][br][list][*][b][color=#6aa84f]lineares und exponentielles Wachstum[/color][/b] zu erkennen.[/*][/list][list][*][b][color=#93c47d]Halbwertszeit und Verdopplungszeit[/color][/b] anzugeben.[/*][/list][list][*][color=#6aa84f][b]Exponentialfunktionen[/b][/color] aufzustellen.[/*][/list][list][*]mit [color=#93c47d][b]Logarithmen[/b][/color] umzugehen.[/*][/list][list][*][b][color=#6aa84f]Exponentialgleichungen[/color][/b] zu lösen.[/*][/list][br][br]Einen detaillierten Überblick gibt dir sowohl die Rückblicksseite im Buch (S.90) sowie die Checkliste zum Thema.
Checkliste zum Thema
Nutze die heutige Stunde um das Thema "Exponentialfunktion" noch einmal komplett zu wiederholen.[br][br]Dazu kannst du eine [b][color=#6aa84f]Zusammenfassung[/color][/b] schreiben, mit der [color=#6aa84f][b]Checkliste[/b][/color] arbeiten oder die [b][color=#6aa84f]Rückblickaufgaben[/color][/b] im Buch auf Seite 91 lösen (Lösung Seite 167). [br][br][br]
Vergiss auch nicht, dass du in jeder Schulaufgabe einen [b]hilfsmittelfreien Teil[/b] bearbeiten musst. Deswegen darfst du nicht vergessen, Aufgaben auch mal ohne den Taschenrechner zu üben.[br][br]Die folgenden Aufgaben kannst du zum Beispiel[color=#6aa84f][b] ohne Taschenrechner[/b][/color] lösen.
Außerdem findest du im folgenden noch einige Übungen für [color=#6aa84f][b]MatheGym[/b][/color]:
[color=#6aa84f][b]Alles gecheckt? Alles super einfach?[/b][/color] Dann lies dir doch das [color=#6aa84f][b]Thema " Wachtum mit Grenzen"[/b][/color] auf Seite 86 durch.
Jetzt wo du alles wiederholt hast, wird es Zeit einige deiner Kenntnisse in einem [b][color=#6aa84f]Kahoot [/color][/b]zu testen!
Hier noch die Lösung zu den obigen Übungsaufgaben
