Die allgemeine ln-Funktion

ZIEL

Eine mögliche Definition der [b]allgemeinen natürlichen Logarithmusfunktion[/b] lautet [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)+d[/math] mit [math]a,b,c,d\in\mathbb{R};[/math] [math]a\ne0,b\ne0[/math].[br][br]Neben dieser Definition (vgl. schuelerhilfe.de, [url=https://www.schuelerhilfe.de/online-lernen/1-mathematik/690-die-logarithmusfunktion]Logarithmusfunktion)[/url] gibt es weitere Möglichkeiten: In einem bayerischen Schulbuch der Beruflichen Oberschule findet sich [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx-c\right)+d[/math], im zugehörigen Lehrplan steht wiederum [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx+c\right)+d[/math].[br][br]Bisher haben wir nur den Sonderfall [math]g\left(x\right)=ln\left(x\right)[/math] kennengelernt. Diese Funktion g erhält man unabhängig von der Wahl der Definition (s. oben) für die Parameterwerte [math]a=1[/math], [math]b=1[/math], [math]c=0[/math] und [math]d=0[/math].[br][br]Wir betrachten nun die Auswirkungen, die eine Veränderung jedes einzelnen Parameters bewirkt:[br][br]Aufgaben 1 bis 3: [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(x\right)[/math][br] [br]Aufgaben 4 und 5: [math]f\left(x\right)=ln\left(bx\right)[/math][br][br]Aufgaben 6 und 7: [math]f\left(x\right)=ln\left(x-c\right)[/math][br][br]Aufgaben 8 und 9: [math]f\left(x\right)=ln\left(x\right)+d[/math][br][br]Aufgaben 10 und 11: Betrachtung der beiden alternativen Definitionen (s. anbei)[br][br][br]

ANLEITUNG

Verschieben Sie jeweils den Schieberegler in den Aufgaben 1, 4, 7 und 9 und vergleichen Sie den resultierenden Graphen von f mit dem Graphen der "normalen" ln-Funktion g(x)=ln(x). [br]Bearbeiten Sie anschließend die jeweils darauffolgende(n) Frage(n). [br][br][br]

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters a mithilfe des Schiebereglers.

Was konnten Sie in Aufgabe 1 feststellen?

Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.

Für a > 1 steigt der Graph von f schneller als der Graph der ln-Funktion. Letzterer wird also entlang der y-Achse gestreckt. Das Ändern des Vorzeichens von a bewirkt eine Spiegelung an der y-Achse. Insg. könnte man zusammenfassen: a streckt bzw. staucht entlang der x-Achse und spiegelt bei negativen Werten an der y-Achse. Für 0 < a < 1 steigt der Graph von f schneller als der Graph der ln-Funktion, d. h. er ist im Vergleich zu g gestaucht in x-Richtung. Ist a < 0, so ist der Graph von f streng monoton fallend und linksgekrümmt. Der Graph von g wird entlang der x-Achse verschoben, sodass der Graph von f entsteht. Das Ändern des Vorzeichens von a bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse. Für 0 < a < 1 steigt der Graph von f langsamer als der Graph der ln-Funktion, d. h. er ist im Vergleich zu g gestaucht in y-Richtung. Insg. könnte man zusammenfassen: a streckt bzw. staucht entlang der y-Achse und spiegelt bei negativen Werten an der x-Achse. Die Definitionsmengen von f und g sind identisch. Alle Graphen schneiden die x-Achse im Punkt (1/0). Der Graph von g wird entlang der y-Achse verschoben, sodass der Graph von f entsteht. Für a > 0 ist der Graph von f streng monoton fallend und rechtsgekrümmt. Für a > 0 ist der Graph von f streng monoton steigend und rechtsgekrümmt.

Bearbeiten Sie die LearningApp!

Kreuzen Sie anschließend die "korrekte" Aussage an ;) !

Den Einfluss von a auf den Funktionsgraphen der Funktion f habe ich noch nicht verstanden. Den Einfluss von a auf den Funktionsgraphen der Funktion f habe ich verstanden.

TIPP: Mit einem Klick auf das Bild (Graph oder Funktionsgleichung) wird es vergrößert.

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters b mithilfe des Schiebereglers.

Was konnten Sie in Aufgabe 4 feststellen?

Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.

Für b > 0 ist die Funktion f nur für positive x-Werte definiert und streng monoton steigend. Das Ändern des Vorzeichens von b bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse. Der Graph von g wird entlang der y-Achse verschoben. Für |b|>1 wandert die Nullstelle weiter weg von der y-Achse. Für 0<|b|<1 wandert die Nullstelle weiter weg von der y-Achse. Für b > 1 gilt: Verschiebt man den Graphen von g um ln(b) nach oben, so entsteht der Graph von f. Für |b|>1 wandert die Nullstelle näher hin zur y-Achse. Für b < 0 gilt: Verschiebt man den Graphen von g um |b| nach unten, so entsteht der Graph von f. Für b < -1 gilt: Verschiebt man den Graphen von g um ln(|b|) nach oben und spiegelt ihn an der y-Achse, so entsteht der Graph von f. Für b > 1 verläuft der Graph von f steiler als der Graph der ln-Funktion, d. h. er ist entlang der x-Achse gestaucht. Für -1 < b < 0 gilt: Verschiebt man den Graphen von g um ln(|b|) nach unten und spiegelt ihn an der y-Achse, so entsteht der Graph von f. Für b > 1 verläuft der Graph von f flacher als der Graph der ln-Funktion, d. h. er ist entlang der x-Achse gestreckt. Die Definitionsmengen von f und g sind identisch. Ist b positiv, so ist g rechtgekrümmt. Ist b negativ, so ist g rechtsgekrümmt. Für b > 1 gilt: Verschiebt man den Graphen von g um b nach oben, so entsteht der Graph von f. Für b < 0 ist die Funktion f nur für negative x-Werte definiert und streng monoton fallend. Ist b positiv, so ist g rechtsgekrümmt. Ist b negativ, so ist g linksgekrümmt. Für b < 0 ist die Funktion f nur für positive x-Werte definiert und streng monoton fallend. Für b < 0 gilt: Verschiebt man den Graphen von g um ln(|b|) nach unten, so entsteht der Graph von f. Für 0<|b|<1 wandert die Nullstelle näher hin zur y-Achse. Der Graph von g wird entlang der x-Achse verschoben. Das Ändern des Vorzeichens von b bewirkt eine Spiegelung an der y-Achse. Für b < -1 gilt: Verschiebt man den Graphen von g um b nach oben und spiegelt ihn an der y-Achse, so entsteht der Graph von f. Für -1 < b < 0 gilt: Verschiebt man den Graphen von g um ln(|b|) nach oben und spiegelt ihn an der y-Achse, so entsteht der Graph von f.

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters c mithilfe des Schiebereglers.

Was konnten Sie in Aufgabe 6 feststellen?

Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.

Für c > 0 wird der Graph von g um c Einheiten nach links verschoben. Die senkrechte Asymptote wird mit verschoben. Für c < 0 wird der Graph von g um |c| Einheiten nach links verschoben. Für c < 0 wird der Graph von g um |c| Einheiten nach rechts verschoben. Die senkrechte Asymptote wird nicht mit verschoben. Für c > 0 wird der Graph von g um c Einheiten nach rechts verschoben.

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters d mithilfe des Schiebereglers.

Was konnten Sie in Aufgabe 8 feststellen?

Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.

Für d > 0 wird der Graph um d Einheiten nach unten verschoben. Für d < 0 wird der Graph um |d| Einheiten nach unten verschoben. Für d > 0 wird der Graph um d Einheiten nach oben verschoben. Für d < 0 wird der Graph um |d| Einheiten nach oben verschoben.

Art der Definition und Bedeutung des Parameters c

Mit der Wahl der Definition (s. oben) verändert sich lediglich die Bedeutung des Parameters c, sofern [math]b\ne1[/math].[br]Betrachten wir zunächst die Funktion [math]r\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx-c\right)+d[/math] im Vergleich zur Funktion g(x)=ln(x).[br]Klammert man das b im Argument des ln aus, so erhält man strukturell die gleiche Form wie bei der Funktion f mit [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)+d[/math]. Nur an der Stelle, wo bei f das c stand, steht nun ...?

Es wird um [math]\frac{c}{b}[/math] verschoben. [br] Es wird um [math]\frac{b}{c}[/math] verschoben. Die Richtung der Verschiebung ändert sich, wenn [math]b<0[/math] . Eine Veränderung des Parameters c hat stets die gleiche Auswirkung wie bei obiger Definition (s. Funktion f; Aufgaben 6 und 7). Eine Veränderung des Parameters a hat stets die gleiche Auswirkung wie bei obiger Definition (s. Funktion f; Aufgaben 1 bis 3). Eine Veränderung des Parameters d hat stets die gleiche Auswirkung wie bei obiger Definition (s. Funktion f; Aufgaben 8 und 9). Es wird um [math]b\cdot c[/math] verschoben. Eine Veränderung des Parameters b hat stets die gleiche Auswirkung wie bei obiger Definition (s. Funktion f; Aufgaben 4 und 5). Die Richtung der Verschiebung wird durch b nicht beeinflusst.

Art der Definition und Bedeutung des Parameters c

Mit der Wahl der Definition (s. oben) verändert sich lediglich die Bedeutung des Parameters c, sofern [math]b\ne1[/math].[br]Betrachten wir nun die Funktion [math]s\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx+c\right)+d[/math] im Vergleich zur Funktion g(x)=ln(x).[br]Das Ausklammern von b im Argument des ln reicht noch nicht aus, um die gleiche Form wie bei der Funktion f mit [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)+d[/math] herzustellen. Man muss noch ... (Fragen A bis D)![br]An der Stelle, wo bei f das c stand, steht nun ... (Fragen E bis H)? [br]Ab Frage I: Beeinflussung

[math]-\frac{b}{c}[/math] Die Gleichung mithilfe von [math]e\left(...\right)[/math] auflösen. Es wird um [math]\frac{c}{b}[/math] verschoben. Die Richtung der Verschiebung wird durch b nicht beeinflusst. Es wird um [math]-b\cdot c[/math] verschoben. [math]ln\left(c\right)[/math] [math]-c[/math] [math]-\frac{c}{b}[/math] Es wird um [math]\frac{b}{c}[/math] verschoben. Ein Logarithmusgesetz anwenden. Aus dem Plus zwei Minus-Zeichen machen: +c = -(-c). Es wird um [math]-\frac{b}{c}[/math] verschoben. Die Richtung der Verschiebung ändert sich, wenn [math]b<0[/math] . Den ln anwenden, um den Term zu vereinfachen. Es wird um [math]b\cdot c[/math] verschoben. Es wird um [math]-\frac{c}{b}[/math] verschoben.

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TIPP: Mit einem Klick auf das Bild (Graph oder Funktionsgleichung) wird es vergrößert.

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters b mithilfe des Schiebereglers.

Was konnten Sie in Aufgabe 4 feststellen?

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters c mithilfe des Schiebereglers.

Was konnten Sie in Aufgabe 6 feststellen?

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters d mithilfe des Schiebereglers.

Was konnten Sie in Aufgabe 8 feststellen?

Art der Definition und Bedeutung des Parameters c

Art der Definition und Bedeutung des Parameters c

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