Die allgemeine ln-Funktion

ZIEL
Eine mögliche Definition der [b]allgemeinen natürlichen Logarithmusfunktion[/b] lautet [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)+d[/math] mit [math]a,b,c,d\in\mathbb{R};[/math] [math]a\ne0,b\ne0[/math].[br][br]Neben dieser Definition (vgl. schuelerhilfe.de, [url=https://www.schuelerhilfe.de/online-lernen/1-mathematik/690-die-logarithmusfunktion]Logarithmusfunktion)[/url] gibt es weitere Möglichkeiten: In einem bayerischen Schulbuch der Beruflichen Oberschule findet sich [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx-c\right)+d[/math], im zugehörigen Lehrplan steht wiederum [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx+c\right)+d[/math].[br][br]Bisher haben wir nur den Sonderfall [math]g\left(x\right)=ln\left(x\right)[/math] kennengelernt. Diese Funktion g erhält man unabhängig von der Wahl der Definition (s. oben) für die Parameterwerte [math]a=1[/math], [math]b=1[/math], [math]c=0[/math] und [math]d=0[/math].[br][br]Wir betrachten nun die Auswirkungen, die eine Veränderung jedes einzelnen Parameters bewirkt:[br][br]Aufgaben 1 bis 3: [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(x\right)[/math][br] [br]Aufgaben 4 und 5: [math]f\left(x\right)=ln\left(bx\right)[/math][br][br]Aufgaben 6 und 7: [math]f\left(x\right)=ln\left(x-c\right)[/math][br][br]Aufgaben 8 und 9: [math]f\left(x\right)=ln\left(x\right)+d[/math][br][br]Aufgaben 10 und 11: Betrachtung der beiden alternativen Definitionen (s. anbei)[br][br][br]
ANLEITUNG
Verschieben Sie jeweils den Schieberegler in den Aufgaben 1, 4, 7 und 9 und vergleichen Sie den resultierenden Graphen von f mit dem Graphen der "normalen" ln-Funktion g(x)=ln(x). [br]Bearbeiten Sie anschließend die jeweils darauffolgende(n) Frage(n). [br][br][br]
Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters a mithilfe des Schiebereglers.
Was konnten Sie in Aufgabe 1 feststellen?
Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.
Bearbeiten Sie die LearningApp!
Kreuzen Sie anschließend die "korrekte" Aussage an ;) !
TIPP: Mit einem Klick auf das Bild (Graph oder Funktionsgleichung) wird es vergrößert.
Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters b mithilfe des Schiebereglers.
Was konnten Sie in Aufgabe 4 feststellen?
Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.
Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters c mithilfe des Schiebereglers.
Was konnten Sie in Aufgabe 6 feststellen?
Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.
Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters d mithilfe des Schiebereglers.
Was konnten Sie in Aufgabe 8 feststellen?
Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.
Art der Definition und Bedeutung des Parameters c
Mit der Wahl der Definition (s. oben) verändert sich lediglich die Bedeutung des Parameters c, sofern [math]b\ne1[/math].[br]Betrachten wir zunächst die Funktion [math]r\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx-c\right)+d[/math] im Vergleich zur Funktion g(x)=ln(x).[br]Klammert man das b im Argument des ln aus, so erhält man strukturell die gleiche Form wie bei der Funktion f mit [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)+d[/math]. Nur an der Stelle, wo bei f das c stand, steht nun ...?
Art der Definition und Bedeutung des Parameters c
Mit der Wahl der Definition (s. oben) verändert sich lediglich die Bedeutung des Parameters c, sofern [math]b\ne1[/math].[br]Betrachten wir nun die Funktion [math]s\left(x\right)=a\cdot ln\left(bx+c\right)+d[/math] im Vergleich zur Funktion g(x)=ln(x).[br]Das Ausklammern von b im Argument des ln reicht noch nicht aus, um die gleiche Form wie bei der Funktion f mit [math]f\left(x\right)=a\cdot ln\left(b\cdot\left(x-c\right)\right)+d[/math] herzustellen. Man muss noch ... (Fragen A bis D)![br]An der Stelle, wo bei f das c stand, steht nun ... (Fragen E bis H)? [br]Ab Frage I: Beeinflussung
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