[right][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](02. Juni. 2022)[/b][/color][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000][br]Diese Seite ist auch eine Aktivität des[/color][/color][/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000] [/color][/color][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000][color=#980000][i][b]Geogebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][b]Sechseck-Netze[/b][/u][/color][/url][/color][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/right][br]

[size=85]Läßt man den [color=#980000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] [math]p_{\infty}[/math] gegen [math]f_{\infty1}[/math] wandern, so fallen [math]f_{\infty1}[/math] und [math]f_{\infty2}[/math] und [math]p_{\infty}[/math] zusammen, der [b]2[/b]-te Teil der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] [br]schrumpft ebenfalls in diesen [color=#ff0000][i][b]Grenzpunkt[/b][/i][/color] zusammen: der [color=#ff0000][i][b]Grenzpunkt[/b][/i][/color] ist sowohl [color=#999999][i][b]doppelt-zählender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Punkt [/b][/i][/color]der [br][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] wie auch [i][b]doppelt-zählender[/b][/i] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[br]Wählt man den [color=#980000][i][b]Grenz-Punkt[/b][/i][/color] [math]p_{\infty}=f_{\infty1}[/math] als [math]\infty[/math], so ergibt sich ein [color=#ff7700][i][b]Mittelpunkt-Kegelschnitt,[/b][/i][/color] der den [color=#980000][i][b]Fernpunkt[/b][/i][/color] [math]\infty[/math] [br][color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] als [color=#999999][i][b]doppelt-zählenden[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color], und als [color=#999999][i][b]doppelt-zählenden[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkt [/b][/i][/color]besitzt.[br]Im Applet oben sind [math]f,f',f_{\infty1}[/math] fixiert, den [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkt[/b][/i][/color] [b]s[/b] und den [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Punkt[/b][/i][/color] [math]p_{\infty}[/math] kann man bewegen.[br]Nach [b]W. Wunderlich[/b] besitzt eine [b]2[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] [b]4 [color=#ff0000][i]konzyklische[/i][/color][/b] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], [b]4[/b] paarweise [br][color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color] (einer davon imaginär) und [b]4[/b] Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[br]Jede dieser Scharen gehört zu einer der [b]4 [color=#f1c232][i]Symmetrieen[/i][/color][/b]. [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/vhc7kemu][color=#1e84cc][u][i][b]Ein Besondres Dreiecksnetz aus Kreisen[/b][/i][/u][/color][/url][br]Aus den [b]3[/b] im Äußeren liegenden Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] kann man [color=#ff00ff][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] konstruieren.[br]Das Innere der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist das Gebiet, welches die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] enthält![br]Durch jeden [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] im Äußeren gehen aus jeder der [b]3[/b] Scharen genau [b]2[/b] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]: das ergibt [b]2[sup]3[/sup][/b] = [b]8[/b] verschiedene [/size][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color][/size]![br][br][color=#cc0000][i][b]Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color][br]Einer der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][/color](hier [math]f[/math] [/size][size=85]) wird ausgewählt. [br]Alle Konstruktionen beruhen auf einer zentralen Eigenschaft der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]: [br][/size][list][*][size=85]Spiegelt man den ausgewählten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f[/math] an den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden [/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b]Kreisen [/b][/i][/color]einer [i][b]Symmetrie[/b][/i], [br]so liegen die Bild-Punkte auf einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]: dem zu [math]f[/math] und der [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehörenden [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. [/size][/*][*][size=85]Umgekehrt kann man zu den [color=#00ffff][i][b]Punkten[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color] die zugehörenden [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] konstruieren.[/size][/*][/list][size=85]Wir erläutern das Konstruktionsprinzip am Beispiel der [color=#ff7700][i][b]Mittelpunktskegelschnitte[/b][/i][/color]: [br]Der [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] eines solchen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color], welcher dem [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f[/math] zugeordnet ist, [br]ist ein [color=#ff0000][i][b]Kreis [/b][/i][/color]um den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f'[/math], der durch die Spiegelpunkte von [math]f[/math] an den [color=#ff0000][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] [br]in den [color=#ff7700][i][b]Hauptachsen-Scheitelpunkten[/b][/i][/color] geht. [br]Der [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] ist [color=#f1c232][i][b]symmmetrisch[/b][/i][/color] zur [color=#ff0000][i][b]Hauptachse[/b][/i][/color].[br]Die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color]-[color=#ff0000][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] sind die [i][b]Mittelsenkrechten[/b][/i], von [math]f[/math] und den [color=#00ffff][i][b]Punkten[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color].[br][br][color=#0000ff][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] entsprechen den [i][b]Mittelsenkrechten[/b][/i] die [color=#ff0000][i][b]Apollonios-Kreise[/b][/i][/color], wir nennen sie [i][b]MIttel-Lotkreise[/b][/i]:[br][/size][list][*][size=85]durch jeden[color=#ff0000][i][b] Punkt[/b][/i][/color] [math]q[/math] der Ebene und zu [b]2[/b] verschiedenen [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color][/size] [math]p[/math] und [math]p'[/math] gibt es genau einen[i][b] [color=#ff0000]Kreis[/color][/b][/i] [br]aus dem [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] um [math]p[/math] und [math]p'[/math], der durch [math]q[/math] geht. [br]Die [color=#ff7700][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] an diesem [/size][size=85][size=85][i][b] [color=#ff0000]Kreis[/color][/b][/i][/size] vertauscht die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] [math]p[/math] und [math]p'[/math].[br][/size][/*][/list]

[size=85]Im Applet oben ist die [color=#BF9000][i][b]Hauptachse[/b][/i][/color] - der [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] - die [math]x[/math]-Achse.[br]Der 2. [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] [math]c_y[/math] ist der [i][b]Mittellotkreis[/b][/i] von [math]f[/math] und [math]f'[/math] durch [math]p_{\infty}[/math]. [br]Der 3. reelle [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] [math]c_E[/math] wird mit Hilfe der [color=#38761D][i][b]BrennPunktsKreise[/b][/i][/color] konstruiert.[br]Der bewegliche [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] [color=#ff7700][b]s[/b][/color] ist vorgegeben, durch [color=#BF9000][i][b]Spiegelungen[/b][/i][/color] erhält man die anderen [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkte[/b][/i][/color][br]und die [color=#999999][i][b]Scheitelkreise.[/b][/i][/color][br]Die [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Spiegelungen[/b][/i][/color][/size]n des [color=#00ff00][i][b]Brennpunkts[/b][/i][/color] [math]f[/math] an den [/size][size=85][size=85][color=#999999][i][b]Scheitelkreisen[/b][/i][/color][/size] liefert die zur [math]x[/math]-Achse [color=#BF9000][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] liegenden [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color].[br]Mit ihrer Hilfe werden die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] und die [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] als [color=#cc0000][i][b]Ortskurve[/b][/i][/color] "konstruiert".[br][br][color=#cc0000][u][i][b]Konstruktion der [color=#666666]doppelt-berührenden[/color] Kreise durch einen Punkt[/b][/i][/u][/color] [math]p_0[/math]:[br]Jede Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ist durch eine der [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] charakterisiert: [math]p'_0[/math] sei einer der [color=#ff0000][i][b]Spiegelpunkte[/b][/i][/color].[br]Der [i][b]Mittellotkreis[/b][/i] von [math]p[/math] und [math]p'_0[/math] durch [math]f[/math] schneidet den zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] in den [color=#00ffff][i][b]Punkten[/b][/i][/color] [math]q[/math] und [math]q'[/math].[br]Die gesuchten [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ergeben sich aus der [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] als [i][b]Mittellotkreise[/b][/i] von [math]f[/math] und [math]q[/math], [br]bzw. von [math]f[/math] und [math]q'[/math].[/size]

[size=85]Das Verhalten der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] in der Grenze hat uns überrascht: nur einer der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] ([color=#0000ff][b]L1[/b][/color]) geht in die [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color] über;[br]die beiden anderen [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] ([color=#0000ff][b]L2[/b][/color] und [color=#0000ff][b]L3[/b][/color]) fallen in den [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color] zusammen.[br]Dies erklärt, dass 2 [color=#ff0000][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] und ein [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch die einzelnen [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] ein [color=#ff00ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aufbauen können: [br]in jeder [color=#ff0000][i][b]Tangente[/b][/i][/color] fallen [color=#cc0000][b]2[/b][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus [color=#cc0000][i][b]2[/b][/i][/color] [i][b]verschiedenen[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]Scharen[/b][/i][/color] zusammen![br]Dazu ist festzuhalten: mit 2 [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] durch einzelne [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] aus [i][b]derselben[/b][/i] Schar kann man [br]kein [color=#ff00ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] konstruieren, weder bei 2-teiligen [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] noch bei [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitten[/b][/i][/color].[/size]