[size=200][b]IX. Anhang[/b][br]Parameter der Funktionsgleichung bei gegebener Kettenlänge und beliebiger Aufhängung[/size]

Die Aufhängepunkte A=(c1|h1) und B=(c2|h2) der Kette liegen jetzt nicht auf gleicher Höhe. [br]Daher liegt der Tiefpunkt oder Scheitelpunkt S nicht mehr beim Mittelwert der x-Koordinaten von A und B.[br]Die Funktion für die Kettenlinie ist nicht mehr symmetrisch zur y-Achse, sondern zur Vertikalen durch den Scheitelpunkt S.[br]Die x-Koordinate dieses Scheitelpunktes sei [i]s[/i].[br]Dann muss die Cosinus-Hyperbolicus-Funktion um [i]s[/i] in x-Richtung verschoben werden.[br][br]Eine mögliche Funktionsgleichung ist [br][math]f(x)=a\cdot\cosh\left(\frac{x-s}{a}\right) - a\cdot\cosh\left(\frac{c1-s}{a}\right) + h1[/math][br]Hierbei bestimmt der Parameter [i]a[/i] die Form der Cosinus-Hyperbolicus-Funktion durch Streckung um den Faktor [i]a[/i] sowohl in x- als auch in y-Richtung.[br]Die beiden konstanten Summanden sorgen dafür, dass der Graph bei x=c1 zunächst bis auf die x-Achse heruntergezogen wird und anschließend auf die Höhe h1 nach oben geschoben wird, sodass die Funktion auf jeden Fall durch den Punkt A verläuft - unabhängig von den Werten der Parameter [i]a[/i] und [i]s[/i].[br][br]Damit die Kurve bei vorgegebener Länge [math]l[/math] auch durch den Punkt B verläuft, müssen die Parameter [i]a[/i] und [i]s[/i] passend berechnet werden.[br]Es erfordert einigen Aufwand, eine Gleichung zu entwickeln, die nur den Parameter [i]a[/i] als Unbekannte enthält, aber nicht [i]s[/i].

Für die Länge der Kette zwischen den Punkten A und B gilt[br][math][br]\begin{align}[br] l&= \int\limits_{c1}^{c2}{\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}}\,\mathrm{d}x \\[br] &= \int\limits_{c1}^{c2}{\sqrt{1+\left(\sinh\left(\frac{x-s}{a}\right)\right)^2}}\,\mathrm{d}x \\[br] &= \int\limits_{c1}^{c2}{\cosh\left(\frac{x-s}{a}\right)}\,\mathrm{d}x \\[br] &= \left[a\cdot\sinh\left(\frac{x-s}{a}\right)\right]_{c1}^{c2} \\[br]\mathrm{I} \quad\quad l&= a\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - a\cdot\sinh\left(\frac{c1-s}{a}\right) [br]\end{align}[br][/math][br]Für den Höhenunterschied [i]v[/i] der beiden Aufhängepunkte A und B gilt[br][math][br]\begin{align}[br]v &= h2 - h1 \\[br]v &= f(c2) - f(c1) \\[br]\mathrm{II} \quad\quad v&= a\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - a\cdot\cosh\left(\frac{c1-s}{a}\right) [br]\end{align}[br][/math]

In den beiden Gleichungen I und II werden die Argumente durch folgende Substitutionen ersetzt:[br][math]\alpha := \frac{c2-s}{a}[/math][br][math]\beta := \frac{c1-s}{a}[/math][br]Damit erhält man eine übersichtlichere Darstellung der beiden Gleichungen:[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{I} \quad\quad & a \cdot\left( \sinh(\alpha) - \sinh(\beta)\right) &=l \\[br]\mathrm{II} \quad\quad & a \cdot\left(\cosh(\beta) - \cosh(\alpha)\right) &=v[br]\end{array}[br][/math][br]Beide Gleichungen werden quadriert.[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{III} \quad\quad & a^2 \cdot[br] \left([br] \sinh^2(\alpha) -2\,\sinh(\alpha)\,\sinh(\beta) + \sinh^2(\beta)[br] \right) &=l^2 \\[br]\mathrm{IV} \quad\quad & a^2 \cdot[br] \left([br] \cosh^2( \beta) - 2\,\cosh(\alpha)\,\cosh(\beta) + \cosh^2(\alpha)[br] \right) &=v^2[br]\end{array}[br][/math][br]Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt[br][math][br]\begin{array}{lrl}[br]\mathrm{III} - \mathrm{IV} &[br] a^2 \cdot \left[[br] \left([br] \sinh^2(\alpha) -2\,\sinh(\alpha)\,\sinh(\beta) + \sinh^2(\beta)[br] \right) \right. \quad & \\ [br] & -[br] \left.[br] \left([br] \cosh^2(\beta) - 2\,\cosh(\alpha)\,\cosh(\beta) + \cosh^2(\alpha)[br] \right) \right][br]& = l^2 - v^2[br]\end{array}[br][/math][br]Umsortieren der Terme führt zu[br][math][br]\begin{array}{lrl}[br]\mathrm{III} - \mathrm{IV} &[br] a^2 \cdot [br]\left[[br] \left([br] \sinh^2(\alpha) - \cosh^2(\alpha)[br] \right) \,+\,[br] \left([br] \sinh^2(\beta) - \cosh^2(\beta)[br] \right)[br]\right. & \\ [br] & [br]\left. + \;[br] 2\,\left(\cosh(\alpha)\,\cosh(\beta)[br] \,-\,\sinh(\alpha)\,\sinh(\beta)\right)[br]\right] & = l^2 - v^2[br]\end{array}[br][/math][br][br]Mit den Formeln[br][math]\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1[/math][br]und [br][math]\cosh(x \pm y) = \cosh(x)\cdot\cosh(y) \pm \sinh(x)\cdot\sinh(y)[/math].[br]aus dem Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/nthwxa9e#material/vafx7nha]II. Mathematischen Grundlagen[/url] vereinfacht sich die Gleichung zu[br][math][br]\begin{array}{lrl}[br]\mathrm{III} - \mathrm{IV} &[br] \quad a^2 \cdot [br]\left[[br] \left([br] -1[br] \right) \,+\,[br] \left([br] -1[br] \right)[br]\right. & \\ [br] & [br]\left. + \,[br] 2\,\cosh(\alpha -\beta) [br]\right] & = l^2 - v^2[br]\end{array}[br][/math][br]und somit zu[br][math][br]\;\mathrm{III} - \mathrm{IV}[br]\quad\quad a^2 \cdot \left(-2 + 2\,\cosh(\alpha-\beta) \right) \;=\; l^2 -v^2[br][/math][br][br]Jetzt werden [math]\alpha[/math] und [math]\beta[/math] resubstituiert.[br][math][br][br]\begin{array}{lrl}[br]\mathrm{III} - \mathrm{IV} \quad\quad &[br]a^2 \cdot \left(-2 + 2\,\cosh\left(\frac{c2-s}{a}-\frac{c1-s}{a}\right) \right) &[br]=\; l^2 -v^2 \\[br]\mathrm{III} - \mathrm{IV} &[br]a^2 \cdot \left(-2 + 2\,\cosh\left(\frac{c2-c1}{a} \right)\right) &[br]=\; l^2 -v^2 [br]\end{array}[br][br][/math][br]Mit c2-c1=u erhält man nun für a die Gleichung[br][math][br]\mathrm{V} \quad\quad\quad [br]\begin{array}{rl}[br]2 \, a^2 \cdot \left(-1 + \cosh\left(\frac{u}{a} \right)\right) &[br]=\; l^2 -v^2 \\[br]\end{array}[br][/math][br]Nach der Formel[br][math]-1 + \cosh(x) = 2 \sinh^2\left(\frac{x}{2}\right)[/math][br]aus den Mathematische Grundlagen kann die Gleichung vereinfacht werden zu[br][math][br]\mathrm{V} \quad\quad\quad [br]\boxed{[br]\begin{array}{rl}[br]4 \, a^2 \cdot \sinh^2\left(\frac{u}{2 a}\right) &[br]=\; l^2 -v^2 \\[br]\end{array}[br]}[br][/math][br][br]Sind die drei Werte von Länge [i]l[/i] der Kette, Abstand [i]u[/i] der Pfeiler und Höhenunterschied [i]v[/i] der Aufhängepunkte bekannt, so kann jetzt mit Gleichung V der formgebende Parameter [i]a[/i] bestimmt werden.

Aus dem Gleichungssystem mit den Gleichungen I und II aus dem obigen Abschnitt [i]Vorbereitungen[/i][br]lässt sich eine Gleichung für s gewinnen.[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{I} \quad\quad & a\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - a\cdot\sinh\left(\frac{c1-s}{a}\right) & = l\\[br]\mathrm{II} \quad\quad & a\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - a\cdot\cosh\left(\frac{c1-s}{a}\right) & = v[br]\end{array}[br][/math][br]In beiden Gleichungen wird jetzt c1 ersetzt. Wegen u = c2-c1 ist c1 = c2-u.[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{I} \quad\quad & a\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - a\cdot\sinh\left(\frac{c2-u -s}{a}\right) & = l\\[br]\mathrm{II} \quad\quad & a\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - a\cdot\cosh\left(\frac{c2-u-s}{a}\right) & = v[br]\end{array}[br][/math][br]oder besser[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{I} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - \sinh\left(\frac{c2-s}{a}-\frac{u}{a}\right)[br]\right] & = l\\[br]\mathrm{II} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - \cosh\left(\frac{c2-s}{a}-\frac{u}{a}\right) [br]\right][br]& = v[br]\end{array}[br][/math][br]Nun werden beim zweiten Summanden in beiden Gleichungen die Additionstheoreme angewendet, nämlich[br][math]\cosh(x \pm y) = \cosh(x)\cdot\cosh(y) \pm \sinh(x)\cdot\sinh(y)[/math][br][math]\sinh(x \pm y) = \cosh(x)\cdot\sinh(y) \pm \sinh(x)\cdot\cosh(y)[/math][br]und das ergibt[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{I} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - [br]\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)\cdot\cosh\left(\frac{u}{a}\right) + \cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right)\cdot\sinh\left(\frac{u}{a}\right) [br]\right] & = l\\[br]\mathrm{II} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right) - [br]\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right) \cdot \cosh\left(\frac{u}{a}\right) + \sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)\cdot\sinh\left(\frac{u}{a}\right) [br]\right][br]& = v[br]\end{array}[br][/math][br][br]In beiden Gleichungen werden die ersten beiden Terme zusammengefasst:[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{I} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\left(1 - [br]\cosh\left(\frac{u}{a}\right)[br]\right)\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br] + \sinh\left(\frac{u}{a}\right)\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right] & = l\\[br]\mathrm{II} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\left([br]1 - \cosh\left(\frac{u}{a} \right)[br]\right)\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br] + \sinh\left(\frac{u}{a}\right)\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right][br]& = v[br]\end{array}[br][/math][br][br]Jetzt wird substituiert mit [math]\delta := 1-\cosh\left(\frac{u}{a}\right)[/math] und [math]\gamma := \sinh\left(\frac{u}{a}\right)[/math]:[br][br][br][math][br]\begin{array}{crll}[br]\mathrm{I} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\delta\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br] + \gamma\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right] & = l & \quad \vert \, \cdot\delta\\[br]\mathrm{II} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\delta\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br] + \gamma\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right][br]& = v & \quad \vert\,\cdot \gamma[br]\end{array}[br][/math][br][br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{VI} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\delta^2\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br] + \delta\gamma\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right] & = l \cdot \delta \\[br]\mathrm{VII} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\delta\gamma\cdot\cosh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br] + \gamma^2\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right][br]& = v \cdot \gamma[br]\end{array}[br][/math][br][br]Die Gleichungen werden voneinander subtrahiert:[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{VI} - \mathrm{VII} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\delta^2\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br] - \gamma^2\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right][br]& = l \cdot \delta - v \cdot \gamma[br]\end{array}[br][/math][br][br][math][br]\begin{array}{crl}[br]\mathrm{VI} - \mathrm{VII} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]\left(\delta^2 - \gamma^2\right)\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right][br]& = l \cdot \delta - v \cdot \gamma[br]\end{array}[br][/math][br][br]Dabei ist [br][math][br]\begin{align}[br]\delta^2 - \gamma^ 2 [br]&= \left( 1-\cosh\left(\frac{u}{a}\right)\right)^2 - \sinh^2\left(\frac{u}{a}\right) \\[br]&= 1-2\,\cosh\left(\frac{u}{a}\right)[br]+\underbrace{\cosh^ 2\left(\frac{u}{a}\right) - \sinh^2\left(\frac{u}{a}\right)}_{=1} \\[br]&= 2 - 2 \cosh\left(\frac{u}{a}\right) [br]= 2 \cdot \left(1 - \cosh\left(\frac{u}{a}\right)\right) \,= 2 \, \delta[br]\end{align}[br][/math][br]Also ist[br][math][br]\begin{array}{crll}[br]\mathrm{VI} - \mathrm{VII} \quad\quad & a\cdot[br]\left[[br]2\delta\cdot\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]\right][br]& = l \cdot \delta - v \cdot \gamma & \quad \vert \, :a, \; :2,\,:\delta[br]\\[br]\mathrm{VIII} \quad\quad & [br]\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\frac{ l \cdot \delta - v \cdot \gamma}{\delta} & \\[br]\mathrm{VIII} \quad\quad & [br]\sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\left(l - v \cdot \frac{\gamma}{\delta} \right) & [br]\end{array}[br][/math][br][br]Resubstitution führt zu[br][math][br]\begin{array}{crl}[br]& \sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\left(l - v\cdot \frac{\sinh\left(\frac{u}{a}\right)}{1-\cosh\left(\frac{u}{a}\right)} \right) \\[br]\mathrm{IX} \quad\quad [br]& \sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\left(l + v\cdot \frac{\sinh\left(\frac{u}{a}\right)}{-1+\cosh\left(\frac{u}{a}\right)} \right) [br]\end{array}[br][/math][br]Der Term [math]-1+\cosh\frac{u}{a}[/math] kann wieder durch [math]2\sinh^2\left(\frac{u}{2 a}\right)[/math] ersetzen werden, und man erhält[br][math][br]\begin{array}{lrl}[br]\phantom{\mathrm{IX} \quad\quad }[br]& \sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\left(l + v\cdot \frac{\sinh\left(\frac{u}{a}\right)}{2\,\sinh^2\left(\frac{u}{2 a}\right)} \right) \\[br]\phantom{\mathrm{IX} \quad\quad }[br]& \sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\left(l + v\cdot \frac{\sinh\left(2\cdot \frac{u}{2a}\right)}{2\,\sinh^2\left(\frac{u}{ 2a}\right)} \right) \\[br]\end{array}[br][/math][br]Jetzt verwenden wir im Zähler auf der rechten Seite [math]\sinh(2 x)=2\,\sinh(x)\,\cosh(x)[/math]:[br][math][br]\begin{array}{lrl}[br]\phantom{\mathrm{IX} \quad\quad }[br]& \sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\left(l + v\cdot \frac{2\cdot\sinh\left(\frac{u}{2a}\right)\cdot\cosh\left(\frac{u}{2 a}\right)}{2\,\sinh^2\left(\frac{u}{2 a}\right)} \right) \\[br]\phantom{\mathrm{IX} \quad\quad }[br]& \sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\left(l + v\cdot \frac{\cosh\left(\frac{u}{2 a}\right)}{\sinh\left(\frac{u}{2 a}\right)} \right) \\[br]\end{array}[br][/math][br]So wie bei den trigonometrischen Funktionen [math]\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/math] und [math]\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}[/math] (Cotangens) gilt, definiert man auch für die hyperbolischen Funktionen [math]\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}[/math] und [math]\coth(x)=\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}[/math].[br]Damit erhalten wir[br][math][br]\begin{array}{lrl}[br]\mathrm{IX} \quad\quad [br]& \sinh\left(\frac{c2-s}{a}\right)[br]& = \frac{1}{2 a}\cdot\left(l + v\cdot \coth\left(\frac{u}{2 a}\right) \right) \\[br]\end{array}[br][/math][br]Auflösen nach s ergibt schließlich[br][math][br]\mathrm{X} \quad\quad [br]\boxed{[br]\begin{array}{rl}[br] s[br]& = c2 - a \cdot \sinh^{-1} \left([br] \frac{1}{2 a}\cdot\left(l + v\cdot \coth\left(\frac{u}{2 a}\right) \right) [br]\right)[br]\end{array}[br]}[br][/math][br]

Lässt man am Beginn der Berechnung die x-Koordinate [i]c1[/i] in den beiden Gleichungen stehen und ersetzt [i]c2[/i] durch [i]c1+u[/i], so erhält man eine ähnliche Formel für [i]s[/i], nämlich [br][math][br]\begin{array}{rl}[br] s[br]& = c1 + a \cdot \sinh^{-1} \left([br] \frac{1}{2 a}\cdot\left(l - v\cdot \coth\left(\frac{u}{2a}\right) \right) [br]\right)[br]\end{array}[br][br][/math]