ここでは外接四角形の性質について証明し、その後、その極線について証明する。[br][br]外接四角形の性質とは、[br][b][br]「円に外接する四角形ＡＢＣＤの接点をＥＦＧＨとすれば、ＡＣ，ＢＤ，ＦＨ，ＥＧは一点に会する。」[br][/b][br]このことを証明するために「相似の中心」を利用する。

まず、ＦＨとＥＧの交点をＯとして、ＡＣがＯを通ることを証明する。[br][br]そのために、ＣからＡＤ，ＡＢに平行線を引いて、ＦＨ，ＥＧの延長線との交点をＫ，Ｊとすれば、[br]図のように、角度と長さがそれぞれ等しくなり、[br]△ＣＫＪは二等辺三角形となる。[br]そして、△ＡＥＦ∽△ＣＫＪとなり、対応する２辺がそれぞれ平行な二等辺三角形となる。[br]したがって、この二つの三角形は相似の位置にあり、[br]二つの三角形において、対応辺がそれぞれ平行ならば対応頂点を結ぶ３直線は一点で会するので、[br]Ｏは相似の中心であり、ＡＣもまたＯを通る。[br]同様に、ＢＤもまたＯを通る。[br]

上の図で、外接四角形の極線の上にＫがあることを証明する。[br]ただし、ＭＯの極をＫとする。[br]ＫがＨＧ上にあることは明白。[br]さらにＩの極線とＨＧが一致することも明白。[br][br]最初に証明したことから、対応する接点と対角線が一点Ｉ（極）で交わる。[br]Ｏの極線はＣＦで、Ｎの極線はＥＤなので、その交点の極線はＭＯを通る。[br]したがって、Ｍの極線とＯの極線の交点とＫは一致する。[br][br]よって、Ｋからの接線の接点Ｐ，ＱはＭＯ上にある。[br]Ｈ，Ｋ，Ｇは一直線上にあり、もう一つの点Ｊもこの極線上にある。[br][br]次は、ＬＮがＫを通ることを示す。[br]ＭＯとＩの極線ＨＧの交点をＪとすると、上の議論でＪの極線はＩＫであり、ＬＮでもある。[br]よって、ＩＫとＬＮは一致し、ＬＮはＫを通る。[br][br]このように、極線を使うと証明が簡単になる。[br]なお、極と極線については、「[url=https://www.geogebra.org/m/yjeuutbU][b]円の極と極線の性質[/b][/url]」を見てください。[br]