Cercles du triangle rectangle tangents au circonscrit

[BC] diamètre du grand cercle de centre O et de rayon R,[br]A point quelconque sur le grand cercle,[br]hauteur [AH] de ABC, perpendiculaire à [BC].[br][br]Cercle (c2), de centre I2, de rayon r, tangent en T2 au grand cercle, à [HA] et en A2 à [HC],[br]cercle (c3), de centre I3, de rayon r3, tangent en T3 au grand cercle, à [HA] et en A3 à [HB],[br]cercle (ci), de centre I1, inscrit dans le triangle ABC.[br][br]Démontrer que les centres des trois cercles sont alignés[br]et même que le centre du cercle inscrit est à égale distance des deux autres centres.
Indications - Géométrie synthétique
Le cercle inscrit, de rayon [math]r_1[/math], est tangent au côté [BC] en [math]A_1[/math].[br]La tangente (AC) au cercle inscrit a pour symétrique, par rapport à la bissectrice de l'angle ABC, une des tangentes issue de [math]A_2[/math] au cercle inscrit est la perpendiculaire en [math]A_2[/math] à (BC).[br]Le point [math]A_2[/math] de [BC] est tel que [math]BA_2=BA[/math].[br]On trouve de même que pour le point [math]A_3[/math] tel [math]CA_3=CA[/math], la perpendiculaire en [math]A_3[/math] à (BC) est tangente au cercle inscrit.[br]Les points [math]A_2[/math] et [math]A_3[/math] sont situés à une distance [math]r_1[/math] de [math]A_1[/math].[br][br]On peut conjecturer que [math]A_2[/math] et [math]A_3[/math] sont les points de contact des cercles ([math]c_2[/math]) et ([math]c_3[/math]) avec [BC],[br]et que les deux tangentes, parallèles à (A_1I_1), coupent les bissectrices des angles AHC et AHB en [math]I_2[/math] et [math]I_3[/math], centres des cercles tangents.[br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://www.debart.fr/geometrie_dynamique/Discussion_geometrie.html]Preuves géométrie synthétique et analytique[/url]

Information: Cercles du triangle rectangle tangents au circonscrit