[b]- Definition Weg:[/b][br] [math]f:\left[a,b\right]\longrightarrow\mathbb{R}^2\vee\mathbb{R}^3stetig,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}x\left(t\right)\\y\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math] [br][b]- Definition Kurve:[/b][br]Graph des Weges [i]f[/i]. [math]K_f:=\left\{p\in\mathbb{R}^2\vee\mathbb{R}^3:\exists t\in\left[a,b\right]:f\left(t\right)=p\right\}[/math]
[b]Aufgabe 1:[/b][br]Wie sieht die Kurve des Weges [math]f\left[0,2\pi\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}cos\left(t\right)\\sin\left(t\right)\end{matrix}\right)[/math] aus?[br][size=85][b]Tipp:[/b] Lege eine Wertetabelle mit den wichtigsten Werten für Sinus und Cosinus an und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein.[/size]
Die Kurve dieses Weges beschreibt den Einheitskreis.
[b]Aufgabe 2:[/b][br]Skizziere die Kurve des Weges [math]f:\left[-4,4\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t-1\\\left|t^2-3\right|\end{matrix}\right)[/math].
[b]Aufgabe 3:[/b][br]In der Schule hast du gelernt, dass im [math]\mathbb{R}^2[/math] jede Funktion einen y-Achsenabschnitt hat.[br]Gilt dasselbe für Wege bzw. ihre Kurven?[br][size=85][b]Tipp:[/b][br]Versuche oben bei der "Anschauung einer Kurve" eine Kurve ohne y-Achsenabschnitt zu erzeugen.[/size]
[b]Aufgabe 4:[/b][br]Welche Eigenschaften müssen erfüllt sein, damit ein Punkt einer zweidimensionalen Kurve auf der x-Achse bzw. auf der y-Achse liegt? Wie würdest du vorgehen, um solche Punkte zu finden?[br][size=85][b]Tipp:[/b][br]Erinnere dich an die Eigenschaften, die Achsenabschnitte bei den dir bekannten eindimensionalen Funktionen erfüllen müssen.[/size]
Jeder Punkt p auf der x-Achse hat die Eigenschaft [math]p_y=0[/math], d.h. die y-Komponente ist gleich 0.[br]Um einen solchen Punkt zu finden, löst man die Gleichung [math]f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}x\left(t\right)\\y\left(t\right)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\left(t\right)\\0\end{matrix}\right)[/math], d.h. [math]y\left(t\right)=0[/math].[br]Analog muss für einen Punkt auf der y-Achse [math]p_x=0[/math] gelten.
[b]Aufgabe 5:[/b][br]Berechne alle Schnittpunkte des Weges [math]f:\left[-2,2\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t-1\\t+1\end{matrix}\right)[/math] mit den Koordinatenachsen.
[b]x-Achse:[br][/b]Für einen Schnitt mit der x-Achse muss [math]y\left(t\right)=0[/math] gelten, in diesem Fall also:[br][math]t+1=0\Leftrightarrow t=-1[/math].[br]Der x-Achsenabschnitt liegt also bei [math]f\left(-1\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)[/math].[br][b]y-Achse:[br][/b]Für einen Schnitt mit der y-Achse muss [math]x\left(t\right)=0[/math] gelten, in diesem Fall also:[br][math]t-1=0\Leftrightarrow t=1[/math].[br]Der Y-Achsenabschnitt liegt also bei [math]f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)[/math].
[b]Bonusa[/b][b]ufgabe 1:[/b][br]Welche Eigenschaften müssen erfüllt sein, damit ein Punkt einer dreidimensionalen Kurve auf einer Koordinatenachse liegt?[br]Wie würdest du vorgehen, um solche Punkte zu finden?
Bei einem Punkt auf einer Koordinatenachse müssen die Werte der beiden anderen Koordinaten genau 0 sein. Zum Beispiel muss für einen Punkt [math]P[/math] auf der x-Achse gelten: [math]P_y=P_z=0[/math].[br]Man muss also das Gleichungssystem [math]f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}x\left(t\right)\\y\left(t\right)\\z\left(t\right)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\left(t\right)\\0\\0\end{matrix}\right)[/math] mit einer Unbekannten [math]t[/math] lösen.[br]Lösungen dieses Gleichungssystems liefern Werte, die durch [math]f[/math] auf den Achsenabschnitt abgebildet werden.
[b]Bonusaufgabe 2:[/b][br]Berechne alle Schnittpunkte des Weges [math]f:\left[-2,2\right]\rightarrow\mathbb{R}^3,f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t-1\\t+1\\t^2+t\end{matrix}\right)[/math] mit den Koordinatenachsen.[br]Welche t werden auf die Achsenabschnitte abgebildet?
Das Gleichungssystem [math]\left(\begin{matrix}t-1\\t+1\\t^2+t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}t-1\\0\\0\end{matrix}\right)[/math] hat die einzige Lösung [math]t=-1[/math]. Die x-Achse wird also genau im Punkt [math]f\left(-1\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\\0\end{matrix}\right)[/math] geschnitten.[br]Das Gleichungssystem [math]\left(\begin{matrix}t-1\\t+1\\t^2+t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\t+1\\0\end{matrix}\right)[/math] hat keine Lösung, daher schneidet die Kurve die y-Achse nicht.[br]Analog gibt es keinen z-Achsenabschnitt.