Eine Brotbäckerei hat monatliche Fixkosten von 3500€. Bei einer Warenmenge von 4,5 ME betragen die Kosten 5000€. Die Kosten steigen am wenigsten bei einer Warenmenge von 7,5 ME. Sie steigen dann um genau 50€/ME. Bestimmen Sie die Kostenfunktion.
Bedingungen: [br][list=1][*][math]K(0)=3500[/math][/*][*][math]K(4,5)=5000[/math][/*][*][math]K''(7,5)=0[/math][/*][*][math]K'(7,5)=50[/math][/*][/list]Das sind vier Bedingungen, daher kann man daraus eine ganzrationale Funktion 3-ten Grades erstellen. Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist sehr oft eine Funktion dritten Grades:[br][math]K(x)=a_3\cdot x^3+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math] Wir benötigen hier auch die Prototypen von [math]K'(x)[/math] und [math]K''(x)[/math]:[br][math]K'(x)=3\cdot a_3\cdot x^2+2\cdot a_2\cdot x+a_1[/math][br][math]K''(x)=6\cdot a_3\cdot x+2\cdot a_2[/math][br][br]Setzt man die vier Bedingungen in die Prototypen ein, dann erhält man das Gleichungssystem:[br][math]\begin{array}{lrrrrrrrr} [br]1.\; \Rightarrow &a_3\cdot&0^3+&a_2\cdot&0^2+&a_1\cdot&0+&a_0=&3500\\[br]2.\; \Rightarrow &a_3\cdot&4,5^3+&a_2\cdot&4,5^2+&a_1\cdot&4,5+&a_0=&5000\\[br]3.\; \Rightarrow &6\cdot a_3\cdot&7,5+&2\cdot a_2\phantom{\cdot}&&&&=&0\\[br]4.\; \Rightarrow &3\cdot a_3\cdot&7,5^2+&2\cdot a_2\cdot&7,5+&a_1\phantom{\cdot}&{}&{}=&50\\[br]\end{array} [/math][br]Lösen mit Geogebra:[br][list=1][*]Speichern Sie den Prototyp für die Kostenfunktion ab: [b][color=#0000ff]K(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+a0[/color][/b] [/*][*]Damit: [b][color=#0000ff]Löse({K(0)=3500,K(4.5)=5000,K' '(7,5)=0,K'(7.5)=50},{a3,a2,a1,a0})[/color][/b][/*][*]Das führt zu [math]a_3\approx3,23[/math], [math]a_2\approx-72,6[/math], [math]a_1\approx595[/math] und [math]a_0=3500[/math][/*][/list]Also heißt die gesuchte Kostenfunktion: [math]K(x)=3,23\cdot x^3-72,6\cdot x^2+595\cdot x+3500[/math][br]