Ziel ist es, die Vermutung, dass die Parallelogramme [i]BPGH [/i]und [i]FEDP [/i]den gleichen Flächeninhalt haben, zu als wahr zu begründen. Dazu zerlegen wir das große Parallelogramm in kleinere Figuren.[br][br]Beschreibe die folgende Abbildung!
Begründe: Die Dreiecke [i]ABD [/i]und [i]BCD [/i]haben den gleichen Flächeninhalt.
Mögliche Begründung: [br]Die Strecke [i]BD [/i]ist Diagonale im Parallelogramm [i]ABCD [/i]und teilt dieses in zwei flächeninhaltsgleiche Dreiecke [i]ABD [/i]und [i]BCD[/i].[br][br]Alternative Begründung: Es wurde bereits gezeigt, dass [i]|AB|=|CD| , |AD|=|BC|[/i] und [math]\left|\angle BAD\right|=\left|\angle DCB\right|[/math] . [br]Nach Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke kongruent und haben somit den gleichen Flächeninhalt.
Begründe: Die Dreiecke [i]DGP [/i]und [i]EFC [/i]haben den gleichen Flächeninhalt.
Es gilt |[i]CF|=|GD| ,[/i] da [i]CF [/i]und [i]GD [/i]gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm [i]FCDG [/i]sind.[br]Es gilt: [math]\left|\angle CFE\right|=\left|\angle GDP\right|[/math] nach Stufen- und Wechselwinkelsatz bzw. Innenwinkelsumme.Es gil[i]t: |EF|=|DP|, [/i]da [i]EF [/i]und [i]DP [/i]gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm [i]EFPD [/i]sind.[br][br][i]DGP [/i]und [i]EFC [/i]sind nach Kongruenzsatz[i] SWS [/i]kongruent und haben somit den gleichen Flächeninhalt.
Begründe: Die Dreiecke [i]AHG [/i]und [i]BFP [/i]haben den gleichen Flächeninhalt.
Es gilt:[i] |BF|=|AG| [/i], da [i]BF [/i]und [i]AG [/i]gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm [i]BFGA [/i]sind.[br]Es gilt: [math]\left|\angle AGH\right|=\left|\angle FBP\right|[/math] nach Stufen- und Wechselwinkelsatz bzw. Innenwinkelsumme.[br]Es gilt: [i]|GH|=|PB|[/i] , da [i]GH [/i]und [i]PB [/i]gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm [i]BPGH [/i]sind.[br][br][i]AHG[/i] und [i]BFP [/i]sind nach Kongruenzsatz SWS kongruent und haben somit den gleichen Flächeninhalt.
Begründe: Die Parallelogramme [i]BPGH [/i]und [i]FEDP [/i]haben den gleichen Flächeninhalt.
Soeben wurde begründet, dass die Dreiecke [i]BFP [/i]und [i]AHG [/i]sowie [i]DGP [/i]und [i]EFC [/i]flächeninhaltsgleich sind. Nennen wir den Flächeninhalt [math]A_{BFP}=A_{AHG}=A_1[/math]sowie [math]A_{DGP}=A_{EFC}=A_2[/math] . [br]Außerdem teilt die Diagonale [i]DB [/i]das Parallelogramm in zwei gleich große Dreiecke [i]ABD [/i]und [i]BCD[/i]. Nennen wir diesen Flächeninhalt [math]A_{ABD}=A_{BCD}=A_3[/math]. [br]Die Parallelogramme [i]BPGH [/i]und [i]FEDP [/i]bilden jeweils die Differenz aus dem großen Dreieck und den zwei kleineren: [math]A_{BPGH}=A_{FEDP}=A_3-A_1-A_2[/math].
Rückblick: Wir haben gezeigt, dass die Parallelogramme [i]FEDP [/i]und [i]BPGH [/i]den gleichen Flächeninhalt haben.[br]Mache dir klar, welche Schritte dabei für dich wichtig waren und was du beim Bearbeiten dieser Aufgabe mitgenommen hast.