Ein Lernpfad zum Satz des Pythagoras
Table of Contents
- 1. Phase: Selbstständiges Entdecken
- Selbstständiges Entdecken
- 2. Phase: Der Satz des Pythagoras
- Erforschen verschiedener Dreiecke
- Der Satz des Pythagoras
- 3. Phase: Die Vielfalt der Beweise
- Vielfalt der Beweise
- 4. Phase: Vertiefungsphase
- Übungsaufgaben (1)
- Übungsaufgaben (2)
- Umkehrung des Satzes des Pythagoras
- Anwendungsaufgaben
- 5. Phase: Reflektion
- Reflektion
Selbstständiges Entdecken
Bauer Hans besitzt zwei quadratische Ackerflächen, wobei eine Fläche aufgrund einer Hütte in zwei aufgeteilt wurde (siehe Abbildung 1). [br]Diese Flächen möchte er an seine Söhne Peter und Franz übergeben, jedoch die Hütte weiterhin selbst nutzen. Peter, der die beiden getrennten Flächen bekommt, ist unzufrieden mit der Verteilung und behauptet:[br]„Das ist ungerecht! Meine beiden Acker-Quadrate sind zusammen viel kleiner als die Fläche von Franz!“, woraufhin Hans erwiderte, dass er beiden Söhnen insgesamt eine gleichgroße Fläche gegeben hat.[br]
Abbildung 1
Überprüfe die beiden Aussagen mithilfe der Abbildung. Du kannst hierfür die zur Verfügung stehenden Werkzeuge nutzen. [br]Notiere dein Vorgehen und deine Vermutungen Schritt für Schritt.[br][br]Welche Behauptung ist deiner Meinung nach richtig?[br][br]Tipp: Durch Bewegung der roten Punkte verändert sich die Darstellung entsprechend.
Hier findest du einen [url=https://www.geogebra.org/classic/kjejqtph][color=#0000ff]LINK[/color][/url], der dir bei der Arbeit mit der Abbildung hilft. [br][br]Nutze diesen Link jedoch nur, wenn du auch noch nach eigenem Ausprobieren der Werkzeuge und nach Austausch mit deinem Sitznachbar/ deiner Sitznachbarin Schwierigkeiten beim Lösungsvorgehen hast![br]
Weitere Abbildungen:
Was wäre, wenn die Ackerflächen anders aussehen würden? [br]Es folgen nun vier weitere Abbildungen, bei denen genau dies der Fall ist.[br][br]Berechne zu jedem Dreieck die verschiedenen Flächeninhalte der Quadrate über den Dreiecksseiten, wofür du die Werkzeuge verwenden kannst. [br]Berechne zusätzlich den Winkel [math]\gamma[/math], welcher in allen vier Dreiecken vorkommt.[br][br]Notiere diese gemessenen Daten jeweils in einer dafür erstellten Tabelle und betrachte die Werte. Überprüfe, ob du ein Muster erkennen kannst.
Abbildung 2
Abbildung 3
Abbildung 4
Abbildung 5
Schreibe deine Beobachtungen in das leere Textfeld und tausche dich mit deinem Sitznachbarn/ deiner Sitznachbarin im Anschluss darüber aus.
Abschließende Frage:
Welche der beiden Personen hatte mit seiner Behauptung recht?
Kontrolle:
Die Tabelle kann[color=#0000ff] [url=https://www.geogebra.org/m/vmwaepbt]hier[/url] [/color]kontrolliert werden.[br]
Erforschen verschiedener Dreiecke
Betrachte mit deinem Wissen aus vorherigem Kapitel nun die folgenden Dreiecke. [br]Fallen dir hier ebenfalls Zusammenhänge auf? [br]Notiere deine Bearbeitungen der verschiedenen Abbildungen.[br][br]Tipp: Nutze die Werkzeuge, um die Abbildungen detaillierter untersuchen zu können.
a)
Hier ist Platz für deine Beobachtungen zur Abbildung a)[br]
b)
Hier ist Platz für deine Beobachtungen zur Abbildung b)
c)
[br]Erstelle im folgenden Koordinatensystem ein Dreieck mit den Punkten:[br]A (3/3)[br]B (9/0)[br]C (3/0)[br]Verbinde diese Punkte durch das Werkzeug "Strecke".[br][br]
Messe die Längen der Dreiecksseiten und notiere diese. [br]Stelle dir die dazugehörigen Quadrate vor und berechne diese durch die jeweiligen Werte der Seitenlängen.[br][br]Findest du einen Zusammenhang zwischen diesen Werten?[br]
Hast du Probleme bei der Konstruktion des Dreiecks oder im weiteren Vorgehen, findest du [url=https://www.geogebra.org/classic/qvwkyyke][color=#0000ff]hier[/color][/url][br]ein mögliches Lösungsvorgehen[br]
d)
Es folgen nun zwei verschiedene Aufgaben, von denen du dir eine auswählen kannst.[br][br]
Option 1
Verändere das Dreieck mithilfe des rot markierten Punktes und überprüfe, in welchen Fällen die Flächeninhalte der beiden kleinen Quadrate summiert den gleichen Flächeninhalt ergeben wie der des großen Quadrates. [br]Halte davon fünf verschiedene Fälle fest, indem du die jeweiligen Seitenlängen des Dreiecks, die Flächeninhalte der zugehörigen Quadrate und die Winkelmaße notierst.[br]
Option 2
Erstelle in diesem Applet ein Dreieck, bei dem du davon ausgehst, dass eine Verbindung zwischen den Flächeninhalten der beiden kleinen Quadrate über den Dreiecksseiten und dem Flächeninhalt des großen Quadrats besteht. [br][br]Notiere dein Vorgehen genau.
Vielfalt der Beweise
Pythagoras von Samos
Pythagoras, der um 570 v.Chr. auf der griechischen Insel Samos geboren wurde, reiste etwa im Alter von 23 Jahren nach Ägypten. Hier lernte er unter anderem die babylonische und altägyptische Mathematik kennen, welche ihn auf seinem weiteren Lebensweg prägte. [br]Zurück in Griechenland entstand aus den gemachten Erkenntnissen Neues - Pythagoras von Samos gelang es erstmals, einen allgemeingültigen Lehrsatz über alle rechtwinkligen Dreiecke zu formulieren, welcher als [b]"Satz des Pythagoras" [/b]bekannt wurde. [br][size=50](Quelle: Gerwig, Mario (2021): Der Satz des Pythagoras in 365 Beweisen, S.1-3)[/size][br][br]Dieser Satz erhält jedoch nur seine Gültigkeit, weil er bewiesen werden kann. [br]Im Laufe der Jahre beschäftigten sich immer mehr Menschen mit diesem Satz und es entstand eine Vielzahl an Beweisen. [br]Von diesen hunderten verschiedenen Beweisen werden nun drei betrachtet.
Arbeitsauftrag
[list=1][*]Einteilung in drei Gruppen, die jeweils Experten für einen zugeteilten Beweis werden.[/*][*]Setzt euch, zunächst alleine, dann in der Gruppe, mit dem entsprechenden Beweis zum Satz des Pythagoras auseinander. Welche Schritte beinhaltet der Beweis und was sagen diese aus? Notiert das Vorgehen.[/*][*]Haltet als Expertengruppe eine kurze Präsentation über den Beweis und erklärt ihn damit den anderen beiden Gruppen.[/*][/list]
Gruppe 1: [color=#0000ff][b][url=https://www.geogebra.org/m/syxmukj4]hier[/url] [/b][/color]klicken![br][br]Gruppe 2: [color=#0000ff][b][url=https://www.geogebra.org/m/gkwueupb]hier[/url][/b][/color] klicken![br][br]Gruppe 3: [color=#0000ff][b][url=https://www.geogebra.org/m/vrdtyfaf]hier[/url][/b][/color] klicken!
Nach eigener Bearbeitung stehen hier Möglichkeiten zur Verfügung, wie die Beweise jeweils den Satz des Pythagoras begründen. [br][br]Beweisvorgehen Gruppe [url=https://www.geogebra.org/m/qkksyudk][color=#0000ff][b]1[/b][/color][/url][br]Beweisvorgehen Gruppe [url=https://www.geogebra.org/m/caussxts][color=#0000ff][b]2[br][/b][/color][/url]Beweisvorgehen Gruppe [url=https://www.geogebra.org/m/zyzucqd2][color=#0000ff][b]3[/b][/color][/url]
Übungsaufgaben (1)
Beschreibung
Welche Dreiecksseite kann bei den dargestellten Dreiecken jeweils als Hypotenuse definiert werden? Welche Seiten sind entsprechend die Katheten?[br][br]Stelle anhand dessen die Formel zum Satz des Pythagoras für jedes Dreieck auf.
a.)
Hypotenuse =[br][br]Kathete[sub]1[/sub] =[br]Kathete[sub]2 =[/sub]
b.)
Hypotenuse =[br][br]Kathete[sub]1 [/sub]=[br]Kathete[sub]2 [/sub]=
c.)
Hypotenuse =[br][br]Kathete[sub]1[/sub] =[br]Kathete[sub]2[/sub]=
Flächeninhalt
Berechne jeweils den fehlenden Flächeninhalt. [br]Notiere dein Vorgehen und den genauen Lösungsweg.[br]Tipp: Die Formel zum Satz des Pythagoras kann bei entsprechender Anpassung helfen.[br][br]Die Aufgabenteile a bis c sind jeweils in zwei verschiedenen Versionen verfügbar, wobei die ersten mehr Informationen enthalten als die zweiten. [br]Schätze dein Können selbst ein und entscheide, welche der Versionen du bearbeitest. Bearbeitest du bei a die erste Version, kannst du dich bei b und c trotzdem für die zweite entscheiden. [br]Wähle somit deinen eigenen Lernvorgang, sodass du die jeweiligen Lösungen erarbeiten kannst[br][br]
a.) Version [url=https://www.geogebra.org/m/n64cw8pv][b][color=#0000ff]1[/color][/b][/url] Version [url=https://www.geogebra.org/m/w8akx3jc][color=#0000ff][b]2[/b][/color][/url]
b.) Version[b][color=#0000ff] [url=https://www.geogebra.org/m/tug59wut]1[/url][/color][/b] Version [url=https://www.geogebra.org/m/frpvea4q][color=#0000ff][b]2[/b][/color][/url]
c.) Version [b][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/gb5yzfhd]1[/url][/color][/b] Version [url=https://www.geogebra.org/m/rszztdzj][b][color=#0000ff]2[/color][/b][/url]
d.)
Berechne den Flächeninhalt des gelben Quadrates[sub]BCDE[/sub]:
Anmerkungen zu den Aufgaben am Beispiel d.)
[url=https://www.geogebra.org/m/zva5ehz4][color=#0000ff][b]hier[/b][/color][/url]
Reflektion
Erstelle nun eine Mindmap zum Satz des Pythagoras. [br]Halte darin deine neu gelernten Erkenntnisse fest und bespreche diese im Anschluss mit deiner Sitznachbarin / deinem Sitznachbarn. [br][br]Möglicherweise könnt ihr eure Mindmap durch den Austausch noch ergänzen.
Eine mögliche [url=https://www.geogebra.org/m/hxyk5asa][b][color=#0000ff]Mindmap[/color][/b][/url], mit der du deine abgleichen kannst.
Selbsteinschätzung
Nun bekommst du die Möglichkeit, deine neuen Fachkenntnisse einzuschätzen und zu bewerten. [br]Diese Einordnung soll dir dabei helfen zu erkennen, welche Inhalte du verstanden hast und welche nochmals wiederholt werden sollten. [br][br]Bei jeder Frage hast du die Möglichkeit, eine Zahl zwischen 1 und 5 einzufügen:[br]1 = trifft voll zu[br]2 = trifft eher zu[br]3 = teils /teils[br]4 = trifft eher nicht zu[br]5 = trifft nicht zu[br]
1. Kann ich den Satz des Pythagoras definieren? [br][br](auch in eigenen Worten möglich - jedoch nicht nur Wiedergabe der Formel!)
2. Kann ich den Satz des Pythagoras an einem Beispiel beschreiben?
3. Kann ich die Längeneinheit einer fehlenden Kathete oder Hypotenuse berechnen?
4. Kann ich den Satz des Pythagoras beweisen?
5. Kann ich den Satz des Pythagoras umkehren?
6. Kann ich überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
7. Kann ich gewisse Figuren so zerlegen, dass dabei rechtwinklige Dreiecke entstehen, und diese dann mit dem Satz des Pythagoras berechnen?