[justify][size=100]A equação geral do 2º grau nas três variáveis [math]x[/math], [math]y[/math] e [math]z[/math]:[br][math]ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz+mx+ny+pz+q=0[/math] [1],[br]onde pelo menos um dos coeficientes [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math], [math]d[/math], [math]e[/math] ou [math]f[/math] é diferente de zero, representa uma superfície quádrica ou simplesmente uma quádrica.[br][br]Observemos que se a superfície quádrica dada pela equação [1] for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano.[br][br]Através de mudanças de coordenadas (rotação e/ou translação), a equação [1] pode ser transformada em uma das formas:[br][br][math]Ax^2+By^2+Cz^2=D[/math] [2][br][br]Ou:[br][math]Ax^2+By^2+Rz=0[/math][br][math]Ax^2+Ry+Cz^2=0[/math][br][math]Rx+By^2+Cz^2=0[/math] [3][br][/size][/justify][justify][size=100]Onde a equação [2] representa uma quádrica centrada e as equações [3] quádricas não centradas.[br][br]No caso de [1] a quádrica estaria centrada na origem. Uma quádrica com centro em [math]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] é dada por: [br][math]a(x-x_0)^2+b(y-y_0)^2+c(z-z_0)^2+2d(x-x_0)(y-y_0)+2e(x-x_0)(z-z_0)+2f(y-y_0)\left(z-z_0\right)+m(x-x_0)+n(y-y_0)+p(z-z_0)+q=0[/math][br]Para facilitar a escrita, vamos mostrar as quádricas com centro na origem. [math](x_0=y_0=z_0=0)[/math][/size][/justify]

[justify][size=100]Se nenhum dos coeficientes da equação [2] for nulo, ela pode ser escrita sob uma das formas:[br][br][math]\pm\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}\pm\frac{z^2}{c^2}=1[/math][br][br]Denominadas, qualquer delas, forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada. Se os coeficientes forem todos negativos, não existe lugar geométrico. Vamos analisar as possibilidades de combinações.[/size][/justify]

[justify][size=100][/size][/justify][justify][size=100]Superfície representada pela equação[br][br][math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/math][br][math]a[/math], [math]b[/math] e [math]c[/math] são reais positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsoide.[br]Se [math]a=b=c[/math], temos uma [b]esfera[/b].[/size][/justify]

[justify][size=100]Ao longo do eixo z: [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1[/math][br]Ao longo do eixo y: [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/math][br]Ao longo do eixo x: [math]-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/math][/size][/justify]

[justify][size=100]Ao longo do eixo z: [math]-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/math][br]Ao longo do eixo y: [math]-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1[/math][br]Ao longo do eixo x: [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1[/math][/size][/justify]

[justify][size=100]Se nenhum dos coeficientes dos termos do 1º membro das equações [3] for nulo, elas podem ser escritas sob uma das formas:[br][math]\pm\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=cz[/math]; [math]\pm\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{z^2}{c^2}=by[/math]; [math]\pm\frac{y^2}{b^2}\pm\frac{z^2}{c^2}=ax[/math][/size][/justify][justify][size=100]Vamos analisar as possibilidades de combinações:[/size][/justify]

[justify][size=100]Ao longo do eixo z: [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z[/math][br]Ao longo do eixo z: [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=y[/math][br]Ao longo do eixo z: [math]\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=x[/math][br]Quando [math]a=b=c[/math] o paraboloide é [b]circular[/b].[/size][/justify]

[justify][size=100]Ao longo do eixo z: [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z[/math][br]Ao longo do eixo z: [math]\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}=y[/math][br]Ao longo do eixo z: [math]\frac{z^2}{c^2}-\frac{y^2}{b^2}=x[/math][/size][/justify]

[justify][size=100]É uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano desta curva.[br][br]A reta é denominada geratriz, a curva plana é a diretriz e o ponto fixo dado é o vértice da superfície cônica.[br][br]Consideramos o caso particular da superfície cônica cuja diretriz é uma elipse (ou circunferência) com o vértice na origem do sistema e com o seu eixo sendo um dos eixos ordenados. Nestas condições:[br][br]Cone ao longo do eixo z: [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0[/math][br]Cone ao longo do eixo y: [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0[/math][br]Cone ao longo do eixo x: [math]-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0[/math][/size][/justify]

[justify][size=100]Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não contida nesse plano. Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente à reta fixa f em contato permanente com a curva plana C.[br][br]A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica.[br][br]Vamos considerar apenas as superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo coordenado não contido no plano. Neste caso, a equação da superfície cilíndrica é a mesma de sua diretriz. [br][br]Por exemplo, se a diretriz for a parábola: [math]x^2=2y[/math], a equação da superfície cilíndrica também será [math]x^2=2y[/math].[br][br]Conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilíndrica é chamada de circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.[/size][/justify]

O gráfico da equação geral [math]ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz+mx+ny+pz+q=0[/math] poderá representar quádricas degeneradas. Exemplos:[br][br]a) [math]x^2-16=0[/math]; dois planos paralelos.[br]b)[math]5x^2+7y^2+2z^2=-6[/math]; o conjunto vazio.[br]c) [math]4x^2+y^2=0[/math]; uma reta: o eixo dos z.[br]d) [math]x^2+y^2+z^2=0[/math]; um ponto: a origem (0,0,0)

[size=85][url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/][img]https://i.creativecommons.org/l/by-nc/4.0/88x31.png[/img][/url][br]Este trabalho está licenciado com uma Licença [url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/]Creative Commons - Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional[/url].[/size]