El [b]Teorema de Brocard[/b] afirma que el circuncentro [b][color=#ff0000]O[/color][/b] de un cuadrilátero inscrito [color=#0000ff][b][ABCD][/b][/color] es el ortocentro de su triángulo diagonal [color=#ff7700][b]△LMN[/b][/color]. Los vértices del triángulo diagonal de un cuadrilátero son las intersecciones de sus sus diagonales [b][color=#0000ff]{AC, BD}[/color][/b], y de sus lados opuestos [b][color=#0000ff]{AB, CD}[/color][/b] y [b]{BC, AD}[/b].

DEMOSTRACIÓN[br][br]Sean [color=#38761d][b]U[/b][/color] y [b][color=#38761d]V[/color][/b] los puntos de intersección de [color=#ff7700][b]LN[/b][/color] con [color=#0000ff]M[/color]A y [color=#0000ff]MD[/color]. Consideremos el cuadrilátero [color=#0000ff][b][LCND][/b][/color], cuyas diagonales [b][color=#ff7700]LN[/color][/b] y [color=#0000ff][b]CD[/b][/color] cortan a su tercera diagonal [color=#0000ff][b]AB[/b][/color] en [color=#38761d][b]U[/b][/color] y [color=#ff7700][b]M[/b][/color]. Entonces [b]{[color=#0000ff]A[/color], [color=#0000ff]B[/color], [color=#38761d]U[/color], [color=#ff7700]M[/color]}[/b] es una [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/ConjugadoArmonico.html]cuaterna armónica[/url]. A su vez, las diagonales [color=#ff7700][b]LN[/b][/color] y [color=#0000ff][b]AB[/b][/color] cortan a la diagonal [color=#0000ff][b]CD[/b][/color] en [color=#38761d][b]V[/b][/color] y [color=#ff7700][b]M[/b][/color], por lo que [b]{[color=#0000ff]D[/color], [color=#0000ff]C[/color], [color=#38761d]V[/color], [color=#ff7700]M[/color]}[/b] también es una cuaterna armónica. Por tanto, [color=#ff7700][b]LN[/b][/color] es la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/PolaridadCirc.html]polar[/url] de [color=#ff7700][b]M[/b][/color] respecto de la circunferencia [color=#0000ff][b]ω[/b][/color] circunscrita a [color=#0000ff][b][ABCD][/b][/color] con centro [color=#ff0000][b]O[/b][/color], y [color=#ff0000][b]MO[/b][/color] es perpendicular a [color=#ff7700][b]NL[/b][/color]. [br][br]Análogamente, sean [color=#38761d][b]U'[/b][/color] y [color=#38761d][b]V'[/b][/color] son los puntos de intersección de [color=#ff7700][b]LM[/b][/color] con [color=#0000ff][b]NA[/b][/color] y [color=#0000ff][b]NB[/b][/color]. Consideremos el cuadrilátero [color=#0000ff][b][LAMD][/b][/color], cuyas diagonales [color=#ff7700][b]LM[/b][/color] y [color=#0000ff][b]AD[/b][/color] cortan a su tercera diagonal [color=#0000ff][b]BC[/b][/color] en [color=#38761d][b]U'[/b][/color] y [color=#ff7700][b]N[/b][/color]. Entonces [b]{[color=#0000ff]B[/color], [color=#0000ff]C[/color], [color=#38761d]U'[/color], [color=#ff7700]N[/color]}[/b] es una cuaterna armónica. A su vez, las diagonales [color=#ff7700][b]LM[/b][/color] y [color=#0000ff][b]BC[/b][/color] cortan a la diagonal [color=#0000ff][b]AD[/b][/color] en [color=#38761d][b]V'[/b][/color] y [b][color=#ff7700]N[/color][/b], por lo que [b]{[color=#0000ff]A[/color], [color=#0000ff]D[/color], [color=#38761d]V'[/color], [color=#ff7700]N[/color]}[/b] también es una cuaterna armónica. Por tanto, [color=#ff7700][b]LM[/b][/color] es la polar de [color=#ff7700][b]N[/b][/color] respecto de [color=#0000ff][b]ω[/b][/color], y [color=#ff0000][b]NO[/b][/color] es perpendicular a [color=#ff7700][b]ML[/b][/color]. [br][br]Por tanto, [b][color=#ff0000]O[/color][/b] es el ortocentro del [color=#ff7700][b]△LMN[/b][/color]. A su vez, [color=#ff7700][b]MN[/b][/color] es la polar de [color=#ff7700][b]L[/b][/color], por lo que [color=#ff7700][b]△LMN[/b][/color] es un [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/PolaridadCirc.html]triángulo autopolar[/url], en el que cada vértice es el polo del lado opuesto, como ocurre con los triángulos diagonales de cualquier cuadrilátero.[br][br]Pueden desplazarse los puntos [color=#ff0000][b]O[/b][/color], [color=#0000ff][b]A[/b][/color], [color=#0000ff][b]B[/b][/color] y [color=#0000ff][b]C[/b][/color] directamente y [color=#0000ff][b]D[/b][/color] con el deslizador cuando la animación está desactivada.[br][br][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Brocard]Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard[/url] (12/5/1845-16/1/1922) fue un meteorólogo y matemático francés, con especial dedicación a la geometría.