Grenzwerte und Asymptoten

Testen Sie: Was passiert mit dem Funktionswert, wenn ...

[list=1][*]... [i]x[/i] immer größer wird, z.B. 100, 10000 oder 1000000?[/*][*]... [i]x [/i]sehr klein wird, z.B. -1000 oder -100000000?[/*][*]... Sie sich der Definitionslücke [i]x[/i] = -2 von links annähern, z.B. [i]x [/i]= -2,1; [i]x[/i] = -2,0001[/*][*]... Sie sich von rechts annähern, z.B. [i]x[/i] = -1,99; [i]x[/i] = -1,999999?[br][/*][/list]

Grenzwert

Nähert sich eine Funktion für sehr große und/oder sehr kleine [i]x[/i] einem fest Wert (hier 3) an, so nennt man diesen Wert [b]Grenzwert[/b]. Man schreibt entweder:[br][math]f\left(x\right)\to3[/math] für [math]x\to\infty[/math][br]Oder:[br][math]\lim_{x\to\infty}\left(f\left(x\right)\right)=3[/math] sprich: "Der [b]Limes[/b] von [i]f(x)[/i] für [i]x[/i] gegen unendlich ist drei."[br][br]Weiß man den Grenzwert nicht auswendig (bei unverschobenen Hyperbeln ist er z.B. immer 0), so kann man ihn entweder durch ausprobieren ermitteln, das heißt mittels Taschenrechner (siehe oben), oder mittels logischer Überlegung.

Welche Grenzwerte sind richtig?

[math]\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x^2}\right)=0[/math] [math]\lim_{x\to-\infty}\left(-3x^{-5}\right)=-3[/math] [math]\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+5}{3x-4}\right)=\frac{2}{3}[/math] [math]\lim_{x\to-\infty}\left(1+x\right)=1[/math]

Waagrechte Asymptote

Hat eine Funktion einen Grenzwert, so nähert sie sich beliebig genau einer waagrechten Geraden an (im obigen Beispiel der Geraden mit Gleichung [i]y[/i] = 3). Die Gerade nennt man [b]waagrechte Asymptote[/b].

Senkrechte Asymptote

In obigem Beispiel gilt:[br][math]f\left(x\right)\to-\infty[/math] für [math]x\to-2[/math] und [math]x<-2[/math] (das heißt, wenn man sich der Definitionslücke von links nähert)[br]und[br][math]f\left(x\right)\to\infty[/math] für [math]x\to-2[/math] und [math]x>-2[/math] (von rechts kommend).[br][br]Geht der Funktionswert bei einer Definitionslücke gegen Unendlich, so nennt man diese Definitionslücke auch [b]Polstelle[/b].[br]Der Graph nähert sich hierbei der senkrechten Geraden (in unserem Beispiel der Geraden mit Gleichung [i]x[/i] = -2) beliebig genau an. Man nennt diese Gerade folglich [b]senkrechte Asymptote[/b].

Asymptoten bestimmen

Ermitteln Sie alle Asymptoten der Funktionen [i]f, g[/i] und [i]h[/i], deren Graphen oben abgebildet sind. Verwenden Sie die korrekte mathematische Syntax.