Durch das Verfahren der [b]Substitution[/b] lassen sich ganz spezieller ganzrationaler Funktionen bestimmen, nämlich solche, bei denen die Variable x nur in Potenzen [math]x^n[/math] und [math]x^{2n}[/math] (neben einem additiven Glied +c) auftritt. Ein Spezialfall sind die sogenannten [b]biquadratischen Gleichungen [/b] der Form[br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^4+c\cdot x^2+e[/math].[br]Die zugehörige Parabel 4. Grades kann dabei [b]bis zu vier Nullstellen[/b] besitzen. Das Besondere an biquadratischen Gleichungen ist, dass sie stets symmetrisch zur y-Achse verlaufen (nur gerade Exponenten). Daraus folgt, dass eine biquadratische Gleichung entweder [b]vier, zwei oder gar keine [/b] Nullstellen besitzt.[br][br]Für die Bestimmung der Nullstellen wird der Ausdruck [math]x^2[/math] durch eine andere Variable, z.b [math]z[/math] ersetzt (substituiert) und dann die wegen [math]z^2=\left(x^2\right)^2=x^4[/math]entstehende quadratische Gleichung in [math]z[/math] nach einem bekannten Verfahren (z.B. "p-q-Formel") gelöst.[br]Am Ende darf man aber [b]nicht vergessen[/b], die Variable [math]z[/math] wieder durch [math]x^2[/math] zu ersetzen (resubstituieren). [br]Dadurch vergrößert sich i.d.R. die Anzahl der Lösungen.

[i]Beispiel 1:[/i] [math]f\left(x\right)=x^4-7x^2+12[/math][br][br][math]x^4-7x^2+12=0[/math] Substituiere [math]x^2=z[/math][br][math]\Longleftrightarrow z^2-7z+12=0[/math] "p-q-Formel" in z[br][math]\Longleftrightarrow z=\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}{4}-12}[/math][br][math]\Longleftrightarrow z=\frac{7}{2}\pm\frac{1}{2}[/math][br][math]\Longleftrightarrow z=4\vee z=3[/math] Resubsituiere [math]z=x^2[/math][br][math]\Longleftrightarrow x^2=4\vee x^2=3[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=2\vee x=-2\vee x=\sqrt{3}\vee x=-\sqrt{3}[/math][br][br]Die biquadratische Funktion hat also vier Nullstellen.

[i]Beispiel 2:[/i] [math]f\left(x\right)=2x^4-4x^2-6[/math][br][br][math]2x^4-4x^2-6=0[/math] |:2[br][math]\Longleftrightarrow x^4-2x^2-2=0[/math] Substitution [br][math]\Longleftrightarrow z^2-2z-3=0[/math][br][math]\Longleftrightarrow z=1\pm\sqrt{1+3}[/math] "p-q-Formel"[br][math]\Longleftrightarrow z=1\pm2[/math][br][math]\Longleftrightarrow z=3\vee z=-1[/math][br][math]\Longleftrightarrow x^2=3\vee x^2=-1[/math] Resubsitution[br][math]\Longleftrightarrow x=\sqrt{3}\vee x=-\sqrt{3}[/math] [br] Da sich aus [math]x^2=-1[/math] keine Lösungen ergeben, hat die ganzrationale Funktion nur zwei Nullstellen.

[b][i]Beispiel 3: [math]f\left(x\right)=x^6-6x^3-12[/math][/i][/b][br][br]Bei dieser Struktur, wo die mittlere Potenz gerade die Hälfte der größten Potenz beträgt, lässt sich ebenfalls die Substitution anwenden. Allerdings verläuft der zugehörige Graph wegen der Mischung von geraden und ungeraden Exponenten nicht mehr symmetrisch.[br][br][math]x^6-6x^3-16=0\Longleftrightarrow z^2-6z-16=0\Longleftrightarrow z=3\pm\sqrt{9+16}=3\pm\sqrt{25}=3\pm5[/math][br][math]\Longleftrightarrow z=8\vee z=-2[/math] Resubstituiere [math]z=x^3[/math][br][math]\Longleftrightarrow x^3=8\vee x^3=-2[/math][br][math]\Longleftrightarrow x=\sqrt[3]{8}=2\vee x=\sqrt[3]{-2}\approx-1,26[/math][br][br][i]Anmerkung:[/i] Im Gegensatz zu Quadratwurzeln besitzen Kubikgleichungen immer eindeutige Lösungen. Es lassen sich Kubikwurzeln auch aus negativen Zahlen ziehen, also ist z.B. [math]\sqrt[3]{-8}=-2[/math], denn es gilt:[math]\left(-2\right)^3=\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)=-8[/math].[br]Im obigen Beispiel 3 besitzt der Graph also nur zwei Nullstellen, eine exakt bei 2, die andere etwa bei -1,26.