Erarbeitung Krümmung und Wendepunkte

Aufgaben

1. Beobachte, auch anhand von erster und zweiter Ableitung, welche Bedingung(en) für Rechts-/Linkskrümmung erfüllt sein müssen![br][br]2. Beobachte, welche Bedingung(en) für Wendepunkte (dort, wo das Lenkrad gerade steht) erfüllt sein müssen!

Fragen

Falls Du Hilfe brauchst, findest Du unten noch weitere Applets zur Veranschaulichung

Ist die Funktion rechtsgekrümmt, so ist die [b]die erste Ableitung [/b]in diesem Intervall

steigend oberhalb der x-Achse konstant unterhalb der x-Achse fallend gleich Null

Ist die Funktion linksgekrümmt, so ist die [b]zweite Ableitung[/b] in diesem Intervall

gleich Null kleiner als Null größer als Null konstant

Welcher Zusammenhang ist richtig?

[math]f''\left(x\right)<0\Longleftrightarrow[/math] Steigung von f nimmt ab [math]\Longleftrightarrow[/math] Graph von f ist rechtsgekrümmt [math]f''\left(x\right)<0\Longleftrightarrow f'[/math] ist monoton fallend [math]\Longleftrightarrow[/math] Graph von f ist linksgekrümmt [math]f''\left(x\right)<0\Longleftrightarrow[/math] Steigung von f nimmt ab [math]\Longleftrightarrow[/math] Graph von f ist linksgekrümmt [math]f''\left(x\right)>0\Longleftrightarrow f'[/math] ist monoton fallend [math]\Longleftrightarrow[/math] Graph von f ist rechtsgekrümmt

[math]G_f[/math] hat an der Stelle [math]x_0[/math] einen Hochpunkt. Was muss für [math]f'[/math] und [math]f''[/math] an dieser Stelle gelten?

[math]f'\left(x_0\right)=0[/math] und [math]f''\left(x_0\right)<0[/math] [math]f'\left(x_0\right)=0[/math] und [math]f''\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)[/math] [math]f'\left(x_0\right)=0[/math] und [math]f''\left(x_0\right)>0[/math] [math]f'\left(x_0\right)=0[/math] und [math]f''\left(x_0\right)=0[/math] [math]f'\left(x_0\right)>0[/math] und [math]f''\left(x_0\right)<0[/math]

Wendepunkte

Welche Aussagen sind richtig?

An der Wendestelle hat die zweite Ableitung eine Nullstelle. An der Wendestelle wird der größte Funktionswert erreicht. An der Wendestelle hat die erste Ableitung eine Nullstelle. An der Wendestelle hat die erste Ableitung einen Hoch- oder Tiefpunkt. Beim Wendepunkt wechselt die Krümmung von rechts auf links oder umgekehrt.

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Bedeutung der zweiten Ableitung

Zusammenhang zwischen erster und zweiter Ableitung

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