Data la funzione [b]integrabile[/b] [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math], se è possibile definire la funzione [math]\large\bf x=x\left(t\right)[/math], [b]derivabile[/b] e con [math]\large C\left(x\left(t\right)\right)\subseteq D\left(f\left(x\right)\right)[/math], allora vale la seguente relazione:[br][br][center][math]\Large\bf \int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }f\left(x\left(t\right)\right)\cdot x'\left(t\right)\ dt[/math][/center]detta [b]relazione d'integrazione per sostituzione di variabile[/b].

Nell'integrale di partenza si sostituisce la variabile x con la funzione [math]\large\bf x=x\left(t\right)[/math], ovvero:[br][math]\large \int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }f\left(x\left(t\right)\right)\cdot dx\left(t\right)[/math][br]Utilizzando il [b]formalismo di Liebniz[/b], per cui [math]\large x'\left(t\right)=\frac{dx\left(t\right)}{dt}[/math], si ottiene:[br][math]\large \int_{ }^{ }f\left(x\left(t\right)\right)\cdot dx\left(t\right)=\int_{ }^{ }f\left(x\left(t\right)\right)\cdot\frac{dx\left(t\right)}{dt}dt=\bf \int_{ }^{ }f\left(x\left(t\right)\right)\cdot x'\left(t\right)\ dt[/math][br]che consente di stabilire la nuova variabile d'integrazione.[br][br][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]