Differentialregning

Johnny Nielsen, Nov 6, 2016

Differentialregningsforløb - Drejer sig om væksthastigheder, tangenthældninger, differentialkvotienter og afledede funktioner

Table of Contents

  1. Væksthastighed
    1. Afstand vs tid
    2. Væksthastighed
    3. Bestemmelse af væksthastighed ved gennemsnit
    4. Bestemmelse af monotonilinje for f / fortegnslinje for f'
    5. Function, variations, derive and slope
    6. Variation of a function
  2. Grænseværdi
    1. Grænseværdi
    2. Eksistens af grænseværdi
    3. Sætning om grænseværdier
  3. Differentialkvotient
    1. Øvelse - grafisk betydning af f og f'
    2. Graf for den afledte funktion?
    3. Regneregler for differentialkvotienter
    4. function and derivate
    5. function and derivate
    6. function and derivate
    7. Graf for den afledte funktion?
    8. Klikbevis monotoni af parablen
    9. Find funktionen!
    10. The function variation table
  4. Beviser for diffentialkvotienter
    1. Klikbevis for differentialkvotient x^2
    2. Differentialkvotient af kvadratrod x
    3. Differentialkvotiente af x i tredie
    4. Differentialkvotient af reciprokfunktion
    5. Differentialkvotient lineær funktion
    6. Klikbevis regneregel for differentation af differens
    7. Differentialkvotient x i anden
  5. Regneregler
    1. Illustration af addition af funktioner og differentialkvotienter
    2. Illustration af multiplikation

1.

Væksthastighed

  • 1. Afstand vs tid
  • 2. Væksthastighed
  • 3. Bestemmelse af væksthastighed ved gennemsnit
  • 4. Bestemmelse af monotonilinje for f / fortegnslinje for f'
  • 5. Function, variations, derive and slope
  • 6. Variation of a function

1.1.

Afstand vs tid

Sammenhænge mellem 2 variable
En funktion beskriver sammenhængen mellem en uafhængig variable [math]x[/math] og en afhængig variabel [math]f\left(x\right)[/math]. [br][br]I følgende eksempel laves et bilvæddeløb. Den samlede afstand kørt betragtes som en funktion af den samlede tid. Dvs [br][math]x[/math] angiver tid i sekunder og [math]f\left(x\right)[/math] angiver afstand i meter
Eksempel: Bilvæddeløb. Start animationen og observer hvordan grafen for stedfunktionen fremkommer
Øvelse
Observer grafen i animationen ovenfor. Marker de udsagn der passer
Figur til øvelse 2
Øvelse 2
På figuren ovenfor ses grafen for stedfunktionen for tre køreture, beskriv med ord hvad du kan fortælle om hastigheden i de tre køreture.
– Johnny Nielsen

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

Grænseværdi

  • 1. Grænseværdi
  • 2. Eksistens af grænseværdi
  • 3. Sætning om grænseværdier

2.1.

Grænseværdi

Grænseværdi
Dette afsnit skal introducere begrebet grænseværdi. [br][br]Vi betrager et eksempel på en funktion [math]f\left(x\right)=\frac{x^3-2x^2}{x-2}[/math], denne funktion har definitionsmængden [math]\mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}[/math][br]Man kan altså ikke indsætte 2 da det vil betyde at man dividerer med 0.[br][br]Vi kan naturligvis udregne punkter tæt på. Træk i det blå punkt eller i skyderen for at bestemme hvilket tal [math]f\left(x\right)[/math] kommer tæt på når x er tæt på 2 (Zoom ind for at komme så tæt på du kan)
Skrivemåde
Det tal [math]y[/math] som [math]f(x)[/math] nærmer sig når [math]x[/math] nærmer sig et tal [math]x_0[/math], kaldes grænseværdien og skrives[math]y=\lim_{x\to x_0}f(x)[/math] . [br]"lim" er en forkortelse fra "limes" på Latin der betyder grænse[br]Udtrykket læses som "grænseværdien for [math]f(x)[/math] for [math]x[/math] gående mod [math]x_0[/math]"[br][br]En anden måde at skrive grænseværdien på er [math]f\left(x\right)\longrightarrow y[/math] når [math]x\longrightarrow x_0[/math][br]Udtrykket læses som "[math]f(x)[/math] går imod [math]y[/math] når [math]x[/math] går imod [math]x_0[/math]"[br][br]En anden måde vi ofte ser grænseværdien er [math]y=\lim_{\Delta x\to0}f(x+\Delta x)[/math]. Her lader man forskellen mellem de 2 x-værdier [math]\Delta x[/math] gå mod nul. Hvilket svarer til at [math]x\longrightarrow x_0[/math]
Øvelse: Bestem grænseværdien
Bestem grænseværdien [math]y=\lim_{\Delta x\to0}f(1+\Delta x)[/math] for funktionen [math]f\left(x\right)=\frac{x^4-x^2}{x-1}[/math].
– Johnny Nielsen

2.2.

–

2.3.

–

3.

Differentialkvotient

  • 1. Øvelse - grafisk betydning af f og f'
  • 2. Graf for den afledte funktion?
  • 3. Regneregler for differentialkvotienter
  • 4. function and derivate
  • 5. function and derivate
  • 6. function and derivate
  • 7. Graf for den afledte funktion?
  • 8. Klikbevis monotoni af parablen
  • 9. Find funktionen!
  • 10. The function variation table

3.1.

Øvelse - grafisk betydning af f og f'

Kan du få 10 point?
– Johnny Nielsen

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

4.

Beviser for diffentialkvotienter

I dette kapitel kan du finde klikbeviser for differentialkvotienten for [math]x^2[/math], [math]1/x[/math], [math]\sqrt(x)[/math], [math]x^3[/math], [math]ax+b[/math]

  • 1. Klikbevis for differentialkvotient x^2
  • 2. Differentialkvotient af kvadratrod x
  • 3. Differentialkvotiente af x i tredie
  • 4. Differentialkvotient af reciprokfunktion
  • 5. Differentialkvotient lineær funktion
  • 6. Klikbevis regneregel for differentation af differens
  • 7. Differentialkvotient x i anden

4.1.

Klikbevis for differentialkvotient x^2

Klikbevis for differentialkvotient for x^2
– Johnny Nielsen

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

5.

Regneregler

  • 1. Illustration af addition af funktioner og differentialkvotienter
  • 2. Illustration af multiplikation

5.1.

Illustration af addition af funktioner og differentialkvotienter

At lægge grafer sammen:
Lægges to funktioner sammen betyder det at y-værdierne for funktionerne lægges sammen for derfor at give anledning til en ny funktion. [br]Træk i punktet og se hvordan den røde og den blå graf giver anledning til en grøn graf.[br][br]Notationsmæssigt skrives [math]f\left(x\right)+g\left(x\right)=\left(f+g\right)\left(x\right)[/math], hvor [math]f[/math] angiver den blå funktion, [math]g[/math] den røde og [math]f+g[/math] den grønne
At lægge differentialkvotienter sammen:
Det viser sig at addition af differentialkvotienter opfylder en pæn egenskab.[br]Check "vis addition af differentialkvotienter" af. Træk i punktet og se hvad hvordan differentialkvotienterne (tangenthældning) for den røde og blå graf giver anledning til differentialkvotienten på den grønne graf.[br][br]Notationsmæssigt skrives [math]\left(f+g\right)'\left(x\right)=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)[/math], altså differentialkvotienten af den grønne ser summen af differentialkvotienterne.
– Johnny Nielsen

5.2.

–

Information