0

Differentialregning

Johnny Nielsen, Nov 6, 2016

Differentialregningsforløb - Drejer sig om væksthastigheder, tangenthældninger, differentialkvotienter og afledede funktioner

Væksthastighed
1. Afstand vs tid
2. Væksthastighed
3. Bestemmelse af væksthastighed ved gennemsnit
4. Bestemmelse af monotonilinje for f / fortegnslinje for f'
5. Function, variations, derive and slope
6. Variation of a function
Grænseværdi
1. Grænseværdi
2. Eksistens af grænseværdi
3. Sætning om grænseværdier
Differentialkvotient
1. Øvelse - grafisk betydning af f og f'
2. Graf for den afledte funktion?
3. Regneregler for differentialkvotienter
4. function and derivate
5. function and derivate
6. function and derivate
7. Graf for den afledte funktion?
8. Klikbevis monotoni af parablen
9. Find funktionen!
10. The function variation table
Beviser for diffentialkvotienter
1. Klikbevis for differentialkvotient x^2
2. Differentialkvotient af kvadratrod x
3. Differentialkvotiente af x i tredie
4. Differentialkvotient af reciprokfunktion
5. Differentialkvotient lineær funktion
6. Klikbevis regneregel for differentation af differens
7. Differentialkvotient x i anden
Regneregler
1. Illustration af addition af funktioner og differentialkvotienter
2. Illustration af multiplikation

Information

Væksthastighed

1. Afstand vs tid
2. Væksthastighed
3. Bestemmelse af væksthastighed ved gennemsnit
4. Bestemmelse af monotonilinje for f / fortegnslinje for f'
5. Function, variations, derive and slope
6. Variation of a function

Afstand vs tid

Sammenhænge mellem 2 variable

En funktion beskriver sammenhængen mellem en uafhængig variable

og en afhængig variabel

. I følgende eksempel laves et bilvæddeløb. Den samlede afstand kørt betragtes som en funktion af den samlede tid. Dvs

angiver tid i sekunder og

angiver afstand i meter

Eksempel: Bilvæddeløb. Start animationen og observer hvordan grafen for stedfunktionen fremkommer

Øvelse

Observer grafen i animationen ovenfor. Marker de udsagn der passer

Den lilla bil har kørt længst efter 200 sekunder Grafen viser at den gule bils hastighed stiger Jo hurtigere en bil kører jo stejlere bliver grafen. Grafen viser at den røde bils hastighed stiger Grafen viser at den grønne og gule bil kører lige langt på 450 sekunder Den røde og blå og grønne bil køre med jævn hastighed Den lilla bil er den hurtigste efter 200 sekunder

Figur til øvelse 2

Øvelse 2

På figuren ovenfor ses grafen for stedfunktionen for tre køreture, beskriv med ord hvad du kan fortælle om hastigheden i de tre køreture.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

2.

Grænseværdi

1. Grænseværdi
2. Eksistens af grænseværdi
3. Sætning om grænseværdier

2.1.

Grænseværdi

Dette afsnit skal introducere begrebet grænseværdi. Vi betrager et eksempel på en funktion

, denne funktion har definitionsmængden

Man kan altså ikke indsætte 2 da det vil betyde at man dividerer med 0. Vi kan naturligvis udregne punkter tæt på. Træk i det blå punkt eller i skyderen for at bestemme hvilket tal

kommer tæt på når x er tæt på 2 (Zoom ind for at komme så tæt på du kan)

Skrivemåde

Det tal

som

nærmer sig når

nærmer sig et tal

, kaldes grænseværdien og skrives

. "lim" er en forkortelse fra "limes" på Latin der betyder grænse Udtrykket læses som "grænseværdien for

for

gående mod

" En anden måde at skrive grænseværdien på er

når

Udtrykket læses som "

går imod

når

går imod

" En anden måde vi ofte ser grænseværdien er

. Her lader man forskellen mellem de 2 x-værdier

gå mod nul. Hvilket svarer til at

Øvelse: Bestem grænseværdien

Bestem grænseværdien

for funktionen

.

2.2.

2.3.

3.

Differentialkvotient

1. Øvelse - grafisk betydning af f og f'
2. Graf for den afledte funktion?
3. Regneregler for differentialkvotienter
4. function and derivate
5. function and derivate
6. function and derivate
7. Graf for den afledte funktion?
8. Klikbevis monotoni af parablen
9. Find funktionen!
10. The function variation table

3.1.

Øvelse - grafisk betydning af f og f'

Kan du få 10 point?

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

4.

Beviser for diffentialkvotienter

I dette kapitel kan du finde klikbeviser for differentialkvotienten for , , , ,

1. Klikbevis for differentialkvotient x^2
2. Differentialkvotient af kvadratrod x
3. Differentialkvotiente af x i tredie
4. Differentialkvotient af reciprokfunktion
5. Differentialkvotient lineær funktion
6. Klikbevis regneregel for differentation af differens
7. Differentialkvotient x i anden

4.1.

Klikbevis for differentialkvotient x^2

Klikbevis for differentialkvotient for x^2

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

5.

Regneregler

1. Illustration af addition af funktioner og differentialkvotienter
2. Illustration af multiplikation

5.1.

Illustration af addition af funktioner og differentialkvotienter

At lægge grafer sammen:

Lægges to funktioner sammen betyder det at y-værdierne for funktionerne lægges sammen for derfor at give anledning til en ny funktion. Træk i punktet og se hvordan den røde og den blå graf giver anledning til en grøn graf. Notationsmæssigt skrives

, hvor

angiver den blå funktion,

den røde og

den grønne

At lægge differentialkvotienter sammen:

Det viser sig at addition af differentialkvotienter opfylder en pæn egenskab. Check "vis addition af differentialkvotienter" af. Træk i punktet og se hvad hvordan differentialkvotienterne (tangenthældning) for den røde og blå graf giver anledning til differentialkvotienten på den grønne graf. Notationsmæssigt skrives

, altså differentialkvotienten af den grønne ser summen af differentialkvotienterne.

0

Differentialregning

Table of Contents

Information

Væksthastighed

Afstand vs tid

Sammenhænge mellem 2 variable

Eksempel: Bilvæddeløb. Start animationen og observer hvordan grafen for stedfunktionen fremkommer

Øvelse

Øvelse 2

Grænseværdi

Grænseværdi

Grænseværdi

Skrivemåde

Øvelse: Bestem grænseværdien

Differentialkvotient

Øvelse - grafisk betydning af f og f'

Kan du få 10 point?

Beviser for diffentialkvotienter

Klikbevis for differentialkvotient x^2

Regneregler

Illustration af addition af funktioner og differentialkvotienter

At lægge grafer sammen:

At lægge differentialkvotienter sammen: