[size=85]Im vorangegangenen Applet haben wir das [b][i][color=#9900ff]Übertragungsprinzip[/color][/i][/b] der Punkte aus [math]\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math] in den [br]komplex-[b][color=#a61c00]3[/color][/b]-dimensionalen Vektorraum [math]\large\mathcal{G}[/math] vorgestellt:[br][/size][list][*][size=85][math]w\in\mathbb{C}\mapsto \mathbf\vec{p}(w)=\frac{w^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p} _\infty+w\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0[/math], [br] [math]\mathbf\vec{p}(w)[/math] kann als [b][i][color=#ff0000]parabolisches Kreisbüschel[/color][/i][/b] mit [math]w[/math] als Berührpunkt gedeutet werden.[br][/size][/*][/list][size=85]Für zwei Punkte [math]w_1,w_2\in\mathbb{C}[/math] ist das [b]LIE[/b]-Produkt erklärt:[br][/size][list][*][math]\mathbf\vec{g}\left(w_1,w_2\right)=\frac{\left[\mathbf\vec{p}\left(w_1\right),\mathbf\vec{p}\left(w_2\right)\right]}{\mathbf\vec{p}\left(w_1\right)\bullet \mathbf\vec{p}\left(w_2\right)}=\frac{1}{w_1-w_2}\cdot\left(\,w_1\cdot w_2\cdot \mathbf\vec{p}_{\infty}+\left(w_1+w_2\right)\cdot \mathbf\vec{g}_0+2\cdot \mathbf\vec{p}_0\,\right)[/math][br][size=85]mit[/size] [math]\mathbf\vec{g}\left(w_1,w_2\right)\bullet\mathbf\vec{g}\left(w_1,w_2\right)\; = -1 [/math] [size=85]und[/size] [math]\mathbf\vec{g}\left(w_1,w_2\right)\bullet\mathbf\vec{p}\left(w_i\right)\; = 0 [/math] [size=85]für[/size] [math]i=1,2[/math] .[br][/*][/list][size=85] [math]\mathbf\vec{g}\left(w_1,w_2\right)[/math] kann als [b][i][color=#ff0000]elliptisches Kreisbüschel[/color][/i][/b] durch [math]w_1,w_2[/math] gedeutet werden.[br] [math]i\cdot\mathbf\vec{g}\left(w_1,w_2\right)[/math] ist das [b][i][color=#0000ff]polare[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]hyperbolische Kreisbüschel[/color][/i][/b].[br]Für [b][color=#a61c00]4[/color][/b] verschiedene Punkte [math]w_1,w_2,w_3,w_4\in\mathbb{C}[/math] ist[br][/size][list][*][size=85] [math]\mathbf\vec{g}\left(w_1,w_2\right)\bullet \mathbf\vec{g}\left(w_3,w_4\right)=\frac{dv+1}{dv-1}[/math], [br]wobei [math]dv=\frac{w_1-w_3}{w_2-w_3}\cdot\frac{w_2-w_4}{w_1-w_4}[/math] das komplexe [b][i][color=#0000ff]Doppelverhältnis[/color][/i][/b] der [b][color=#cc4125]4[/color][/b] Punkte ist.[br][/size][/*][/list][size=85]Daher ist [math]\mathbf\vec{g}\left(w_1,w_2\right)\bullet \mathbf\vec{g}\left(w_3,w_4\right)=0 [/math] genau dann, wenn die Punkte-Paare [math]w_1,w_2;w_3,w_4[/math] sich [b][i][color=#0000ff]harmonisch[/color][/i][/b] trennen.[br]Insbesondere sind sie dann [b][i][color=#ff0000]konzyklisch[/color][/i][/b]![br][br]Zur Abkürzung schreiben wir für die [b][color=#a61c00]4[/color][/b] Punkte [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] oben im Applet: [math]\mathbf\vec{g}_{12}=\left[\mathbf\vec{p}\left(z_1\right),\mathbf\vec{p}\left(z_2\right)\right]\,;\,\mathbf\vec{g}_{34}=\left[\mathbf\vec{p}\left(z_3\right),\mathbf\vec{p}\left(z_4\right)\right][/math][br]und [math]\mathbf\vec{g}_{1234}=\left[\mathbf\vec{g}_{12},\mathbf\vec{g}_{34}\right][/math]. Analog für die [b][color=#a61c00]3[/color][/b] möglichen [b][i][color=#9900ff]Permutationen[/color][/i][/b] der Indizes.[br]Nach den [b][i][color=#9900ff]Regeln[/color][/i][/b] für das [b]LIE-[/b]Produkt (bzw. für das [b][i][color=#0000ff]Kreuz[/color][/i][/b]-Produkt) gelten:[br][/size][list][*][size=85][math]\mathbf\vec{g}_{1234}\bullet \mathbf\vec{g}_{12}=\mathbf\vec{g}_{1234}\bullet \mathbf\vec{g}_{34}=0[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_{1234}\bullet \mathbf\vec{g}_{1324}=\mathbf\vec{g}_{1234}\bullet \mathbf\vec{g}_{1423}=\mathbf\vec{g}_{1324}\bullet \mathbf\vec{g}_{1423}=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Die [b][color=#a61c00]3[/color][/b] Vektoren [math]\mathbf\vec{g}_{1234},\; \mathbf\vec{g}_{1324},\; \mathbf\vec{g}_{1423}[/math] bilden eine [b][i][color=#0000ff]orthogonale Basis[/color][/i][/b], ihre Büschelpunkt-Paare können [br]durch eine geeignete [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] auf die Punkte-Paare [math]\left\{0,\infty;1,-1;i,-i\right\}[/math] abgebildet werden.[br]Da die vorgegebenen Punkte [math]z_1,z_2,z_3,z_4[/math] harmonisch getrennt zu den ON-Punkte-Paaren liegen,[br]bildet die [b][i][color=#0000ff]Möbius-Transformation[/color][/i][/b] sie ab auf komplexe Punkte [math]\left\{f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\right\}[/math] für ein geeignetes [math]f\in\mathbb{C}[/math].[br][br]link: [math]\hookrightarrow[/math] [/size][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168840][size=85][i][u][b][color=#980000]geogebra-book[/color] [color=#0000ff]Möbiusebene[/color][/b] chapter Geradenraum[/u][/i][/size][/url][size=85][br]Für Berechnungen, die mit [b][i][color=#ff0000]Kreisbüscheln[/color][/i][/b] zu tun haben, ist das Rechnen in der [b]LIE[/b]-Algebra [math]\large\mathcal{G}[/math] [br]der genau-passsende [b][i][color=#9900ff]Geometrie-Kalkül[/color][/i][/b]. [br](Nach dem äußerst lesenswerten Vorbild "[i]Geometrie-Kalküle[/i]" von Jürgen Richter-Gebert und Thorsten Orendt 2009)[br][br][b][i][u][color=#cc0000]Ein Beispiel: [/color][/u][/i][/b]für [math]\mathbf\vec{g}\in\large\mathcal{G}[/math] besitzt die komplex-quadratische Gleichung [math]\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}(z)=0[/math][br] - genau eine doppelt-zählende Lösung [math]z\in\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math], wenn [math]\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{g}=0[/math] ( [b][i][color=#ff0000]parabolisches Kreisbüschel[/color][/i][/b] )[br] - bzw. zwei verschiedene Lösungen [math]z_1,z_2\in\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math], wenn [math]\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{g}\ne0[/math] ( die Grundpunkte eines [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] )[br][b][i][color=#9900ff]Hilfsmittel? [/color][/i][/b]: die komplexe [b]p[/b]-[b]q[/b]-Formel![/size]