Der [b]Schnittpunkt mit der y-Achse[/b] beschreibt, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Diesen Wert nennt man auch [b]y-Achsenabschnitt. [/b]Dies passiert an der Stelle x=0. Ist die Funktionsvorschrift (der Term) gegeben, kannst du den y-Achsenabschnitt einfach ablesen, indem du den Summanden mit x ignorierst, und nur die Zahl ohne Variable nennst. [br]Eine Zahl ohne Variable in einem Term nennt man auch [b]absolutes Glied[/b], da sie unabhängig von der Größe von x ist und immer den gleichen Wert hat.[br]Hier ein Beispie:[br][math]f\left(x\right)=3\cdot x-5[/math] --> das absolute Glied ist -5, somit ist der y-Achsenabschnitt -5![br][math]g\left(x\right)=-3\cdot x+10[/math] --> das absolute Glied ist 10, somit ist der y-Achsenabschnitt ist 10![br][br]Dies lässt sich auch immer durch Einsetzen von x=0 überprüfen![br][math]x=0\Longrightarrow f\left(0\right)=3\cdot0-5=-5[/math] und[br][math]x=0\Longrightarrow g\left(0\right)=-3\cdot0+10=10[/math][br][br]In komplizierteren Funktionen ergibt es Sinn, x=0 einzusetzen, bei einfachen linearen Funktionen reicht es aber aus, wenn du den y-Achsenabschnitt einfach abliest![br][br]Da Funktionen immer eindeutige Zuordnungen sind (also jedem x [b]maximal [/b]einen y-Wert zuordnen), gibt es für jede Funktion [b]immer nur einen[/b] y-Achsenabschnitt.

Während du beim y-Achsenabschnitt einfach einsetzen oder ablesen konntest, muss beim Schnittpunkt mit der x-Achse oft gerechnet werden.[br]Die Schnittpunkte mit der x-Achse nennt man auch [b]Nullstellen. [/b]Dieses Thema ist ein sehr zentrales in der gymnasialen Oberstufe und wird dir immer öfter begegnen.[br]Bei linearen Funktionen kann es, genau wie beim y-Achsenabschnitt nur [b]eine Nullstelle [/b]geben. Für andere Funktionen gilt dies nicht! Je nach Funktionstyp kann es sogar unendlich viele geben![br][br]Wie du auf der Graphik unten erkennen kannst, ist der Schnittpunkt mit der x-Achse die Stelle, an der y den Wert 0 annimmt. Also genau umgekehrt wie bei dem y-Achsenabschnitt.[br][br]Für manche Funktionen kannst du die Nullstelle einfach ablesen: da, wo der Graph die x-Achse schneidet![br]Für andere ist der Wert allerdings so krumm, dass er zu berechnen ist.[br][br]Wie oben erwähnt, ist die Nullstelle die Stelle, für die y=0 ist. Da y dasselbe wie f(x) ist, setzt du diesmal in der Gleichung f(x)=0, also die ganze Funktion gleich Null. Diesmal bist du jedoch nicht sofort fertig, sondern musst erst noch nach x auflösen. [br]Bei linearen Funktionen ist das ganz einfach, es kann bei anderen Funktionen aber viel schwieriger werden.[br][br]Beispiel:[br][math]h\left(x\right)=2x-3[/math] Nullstellen suchen: [math]h\left(x\right)=0[/math][br][math]\Longrightarrow0=2x-3[/math] [math]\mid+3[/math][br][math]\Longleftrightarrow3=2x[/math] [math]\mid:2[/math][br][math]\Longleftrightarrow1,5=x[/math][br][br]Die gesuchte Nullstelle ist damit N(1,5|0), wie du auch am Graphen erkennen kannst. Achte bei den Äquivalenzumformungen darauf, rechts und links immer dasselbe zu tun! Wie bei einer Waage.

[br][color=#000000]Peter rühmt sich damit, ein besonders korrekter Autofahrer zu sein. Als er in den Sommerferien nach Belgien fährt, fällt ihm als erstes auf, dass in Belgien (anders als in Deutschland) auch auf den Autobahnen ein Tempolimit von 120[/color][color=#000000]km/h [/color][color=#000000]herrscht. Nach einer Pause in Lüttich fährt Peter die kürzeste Route zum 240km entfernten De Panne (s. Abb.[/color][color=#000000]1[/color][color=#000000]). [/color]Am Ziel [color=#000000]schaut Peter auf die Uhr: [/color][color=#000000]e[/color][color=#000000]r hat nur 2 Stunden gebraucht! War Peter wirklich so korrekt, wie er immer sagt? [/color][color=#000000]Untersuche [/color][color=#000000]dies [/color][color=#000000]mithilfe der Anweisungen und den Aufzeichnungen von Peters Fahrtenschreiber.[/color][br][br]

Auf Abb. 2 siehst du den Ort in Abhängigkeit zur Zeit aufgetragen. Punkt P(1|120) bedeutet zum Beispiel, dass Peter nach 1 Stunde 120km gefahren ist. Doch wie schnell war er jetzt durchschnittlich?[br]In der Unterstufe ist dir in Mathematik oder Physik sicher einmal die Formel [math]v=\frac{s}{t}[/math] begegnet. Das bedeutet: um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu berechnen, musst du nur die gefahrene Strecke durch die benötigte Zeit dividieren. Eventuell musst du noch die Einheiten umwandeln, um auf [math]\frac{km}{h}[/math] zu kommen. Berechne Peters gesamte Durchschnittsgeschwindigkeit einmal selbst![br]

Notiere erst die Lösungen zu a) und b), bevor du weiter machst![br][br]Du hast jetzt die durchschnittliche Geschwindigkeit über [b]den gesamten Zeitraum[/b] berechnet. Kommt dir die Formel zur Berechnung nicht etwas bekannt vor? Richtig! Hier wurde die durchschnittliche Änderung [i]"durch ein Steigungsdreieck"[/i] bestimmt, dessen Steigung sich durch die Formel [math]m=\frac{y_2-y_{_1}}{x_2-x_1}[/math] berechnen lässt![br]Um die Geschwindigkeit zu berechnen, wird ja die [i]Änderung des Ortes [math]\left(y_2-y_1\right)[/math] [/i]durch die [i]Änderung der Zeit[/i] [math]\left(x_1-x_2\right)[/math] dividiert.[br][br][br]Schau dir noch einmal den Graphen an und überlege, woran du erkennen kannst, dass Peter [b]nicht[/b] mit gleichmäßiger Geschwindigkeit gefahren ist. Bevor du das Applet benutzt: in welchen Bereichen ist er wohl besonders schnell / besonders langsam gefahren? Überlege vorher![br][br]Ok?[br][br]Gut, dann nutzte jetzt das nächste Applet, um abschnittweise zu untersuchen, wie schnell Peter zwischendurch war. Verwende dafür kleinere Steigunsdreiecke. Variiere durch die beiden Schieberegler die zu untersuchende Stelle (=Zeit) und die größe des Steigungsdreiecks. Zoom auch ruhig in die Graphik rein![br][br]Über den Knopf [i]Lösung einblenden[/i] kannst du deine Lösungen für e) kontrollieren, [b]NACHDEM[/b] du selbst gerechnet / gezeichnet hast![br]Mit den Pfeilen rechts oben kannst du das Applet immer wieder in den Anfangszustand zurückversetzen, falls du zu viel gezoomt / verschoben hast.

Du solltest nun erfasst haben:[br][list=1][*]Die Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit![/*][*]Mithilfe einer linearen Funktion (s. Steigungsdreieck) lassen sich ganzrationale Funktionen stückweise annähern! Die Steigung berechnet man durch die Steigungsformel ....[/*][*]Je .... das Steigungsdreieck, desto.... die Näherung![/*][*]Ist der Graph tendenziell flacher, ist das Steigungsdreieck ...! Ist der Graph tendenziell steiler, ist das Steigungsdreieck ...![/*][/list][br]Zeit für Fachbegriffe![br][list=1][*]Im Fall von Peter hast du die[b] mittlere Änderungsrate[/b] des Ortes untersucht: die Durchschnittsgeschwindigkeit![/*][*]Du hast sie mithilfe des [b]Differenzenquotienten [/b]berechnet. Der Name leitet sich aus der Formel her. Es wird der [b]Quotient[/b] (=das Ergebnis einer Geteiltaufgabe / eines Bruches) von [b]Differenzen[/b] (=Ergebnis einer Minusaufgabe) gebildet![/*][*]je... die Stellen beieinander liegen, desto ... nähert der [b]Differenzenquotient[/b] die tatsächliche Steigung der Funktion![/*][*]Ist die Funktion flacher, ist die Änderungsrate .... Ist die Funktions steiler, ist die Änderungsrate ....![/*][*]Der [b]Differenzenquotient [/b]berechnet nur die [b]mittlere Änderungsrate[/b], nicht die[b] exakte / momentane Änderungsrate[/b]![/*][/list]

Du benötigst zur Berechnung des [b]Differenzenquotienten[/b] nicht unbedingt die Funktion. Natürlich kannst du Punkte auch aus einer Tabelle oder einem Graphen ablesen. Sie lassen sich allerdings auch durch die Funktion berechnen.[br][br]Betrachte noch einmal die Formel:[br][br][math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br][br]Die y-Werte an den Stellen x[sub]1[/sub] und x[sub]2[/sub] lassen sich einfach durch Einsetzen in die Funktion berechnen![br]also: [i]y[sub]1[/sub]=f(x[sub]1[/sub])[/i] und [i]y[sub]2[/sub]=f(x[sub]2[/sub]).[/i] Damit lässt sich die Formel auch anders als:[br][br][math]m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}[/math][br][br]Nutze den Taschenrechner, um die exakten Funktionswerte an den ausgesuchten Stellen zu bestimmen! Mach die [i]"Steigungsdreiecke noch kleiner"[/i], indem du zwei Stellen wählst, die noch näher beieinander liegen! Zum Beispiel [i]x[sub]1[/sub]=1[/i] und [i]x[sub]2[/sub]=1,0001[/i].

Überprüfe Peters tatsächliche Geschwindigkeit, indem du die Ableitung benutzt (siehe unteres Applet)