2-②절에서 정칙 곡선을 곡선의 길이를 이용해 표준적으로 매개화할 수 있음을 학습했다. 길이로 매개화된 곡선은 모든 점에서 속력이 [math]1[/math]이므로 [b]단위 속력 곡선[/b](unit speed curve)이라고 한다. 단위 속력 곡선 [math]F(s)[/math]에 대하여 벡터 [math]F'(s)[/math]의 방향은 [math]s[/math]에서 [math]F(s)[/math]의 접선 방향과 일치하고 크기가 [math]1[/math]이므로 [math]F'(s)[/math]를 곡선 [math]F[/math]의 [b]단위 접벡터[/b](unit tangent vector)라 하고 [math]T(s)[/math]로 나타낸다.[br][br] 단위 속력 곡선들의 각 단위 접벡터는 모두 크기가 동일하므로 단위 접벡터의 변화율을 이용해 각 곡선이 구부러진 정도를 일관되게 측정할 수 있다. 반지름의 길이가 각각 [math]1,\ 2[/math]인 두 원의 단위 속력 곡선 [math]F(s),\ G(s)[/math]을 살펴보자. 두 곡선 [math]F(s),\ G(s)[/math]의 단위 접벡터를 [math]T_F(s),\ T_G(s)[/math]라 하면 각 단위 접벡터의 미분 [math]T_F'(s),\ T_G'(s)[/math]는 단위 접벡터와 수직으로 원의 중심 방향을 향한다. 원은 모든 점에서 구부러진 정도가 일정하므로 [math]T_F'(s),\ T_G'(s)[/math]의 크기 [math]|T_F'(s)|,\ |T_G'(s)|[/math]는 각각 일정하다. 반지름의 길이가 [math]1[/math]인 원은 반지름의 길이가 [math]2[/math]인 원보다 더 구부러져 있으므로 [math]|T_F'(s)|> |T_G'(s)|[/math]임을 확인할 수 있다.
단위 속력 평면 곡선 [math]F(s)[/math]의 단위 접벡터를 [math]T(s)[/math]라 할 때 [center][math]\kappa(s)=\left|\frac{d}{ds}T(s)\right|=|F''(s)|[/math][/center]을 곡선 [math]F(s)[/math]의 [b]곡률[/b](curvature)라고 한다.
직선의 접벡터는 상수벡터기 때문에 직선의 곡률은 [math]0[/math]이다.
포물선은 꼭짓점에서 곡률이 가장 크고, 꼭짓점에서 멀어질수록 곡률이 작아진다.
중심이 원점이고 반지름의 길이가 [math]r(r>0)[/math]인 원의 단위 속력 곡선 [math]F(s)[/math]를 구하고 곡선 [math]F(s)[/math]의 곡률 [math]\kappa[/math]가 [math]\kappa=\frac{1}{r}[/math]임을 보이시오.
단위 속력 곡선은 유일한 곡률 함수를 갖는다. 반대로 곡률 함수가 정해졌을 때, 유일한 단위 속력 곡선이 대응되는지 확인해보자.
곡률 함수를 입력하고 곡선의 시작점, 시작 방향, 매개 변수의 최댓값과 최솟값 변화를 관찰하여 곡률 함수에 대응되는 단위 속력 곡선의 특징에 관해 설명해 보자.