In questo capitolo arriveremo a scrivere le [b]equazioni[/b] che descrivono la trasformazione del punto P mediante omotetia di centro C e rapporto k. [br]Per far questo introduciamo nel piano un sistema di [b]coordinate cartesiane [/b]xOy.

Per capire meglio come arrivare alle equazioni generali, affrontiamo prima di tutto il caso in cui il centro C dell'omotetia [b]coincida con l'origine[/b] O degli assi cartesiani.[br][br]Per definizione, come abbiamo visto ad inizio sezione, la condizione che P' sia il trasformato di P tramite omotetia di centro O e rapporto k si esprime con la relazione:[br][br][center][math]\frac{OP'}{OP}=k[/math][/center]Proiettando P e P' sull'asse x e chiamate H e H' le proiezioni, è facile notare che i triangoli OPH e OPH' siano simili.

[center][/center]Questo vuol dire che anche le altre coppie di lati oltre ad OP e OP' [b]mantengono lo stesso rapporto[/b], cioè valgono le relazioni:[br][br][center][math]\frac{OH'}{OH}=k,\ \ \frac{P'H'}{PH}=k[/math][/center]Ora, se chiamiamo P=(x,y) e P'=(x',y'), si possono riscrivere le precedenti relazioni come:[br][br][center][math]\frac{x'}{x}=k,\ \ \frac{y'}{y}=k[/math][/center]Dunque si può ricavare il sistema che descrive la trasformazione del generico punto P di coordinate (x,y) tramite omotetia di centro O e rapporto k:[br][br][center][size=100][size=150][math]\bigg \{[br]\begin{array}{l}[br]x'=k\cdot x \\[br]y'=k\cdot y \\[br]\end{array}[/math][size=200][/size][/size][/size][/center][center][/center]

Per trovare le equazione della generica omotetia di centro C e rapporto k la strategia è quella di comporre l'omotetia di centro nell'origine e rapporto k, che abbiamo appena studiato, con una [b][url=https://www.geogebra.org/book/title/id/vgHzN573#chapter/169571]traslazione[/url] in C[/b].[br]Se chiamiamo [math](x_C,y_C)[/math] le coordinate del punto C nel sistema xOy, la traslazione di vettore OC avrà equazioni:[br][br][center][math]\bigg \{[br]\begin{array}{rl}[br]x'=x+x_C \\[br]y'=y+y_C \\[br]\end{array}[/math][/center]Componendo dunque le due trasformazioni con un po' di manipolazione algebrica si giunge alle equazioni:[br][br][center][math]\bigg \{[br]\begin{array}{rl}[br]x'=kx + (1-k)x_C \\[br]y'=ky + (1-k)y_C \\[br]\end{array}[/math][/center][b]Osserva[/b][b]:[/b] se k=1 la trasformazione risulta essere l'[b]identità[/b], perché lascia invariate le due coordinate del punto.