[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#ff7700][i][b][color=#980000]GeoGebra-Books[/color] [/b][/i][/color][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/right][size=85]In einer euklidischen Karte seien die 3 Pole [b]A[/b], [b]B[/b], [b]C[/b] die komplexen Zahlen [math]q_i,\mbox{ } i=1,2,3[/math]. [br]Für die 3 [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] [math]t\mapsto z_i\left(t\right)[/math] durch einen Punkt [math]z_0[/math] gilt dann:[br][list][*][math] \frac{z_i(t)-q_j}{z_i(t)-q_k}=e^{tw}\frac{z_0-q_j}{z_0-q_k}[/math] mit zyklischer Vertauschung der Indizes 1,2,3 [/*][/list]Die Kurven sind, zumindest lokal, Niveaulinien der Funktionen[br][list][*] [math]\varphi_j(z)=\mathbf{Im}\left(\left(\mathbf{ln}\frac{z-q_j}{z-q_k}\right)\cdot w\right)[/math][/*][/list]und es gilt bei geeigneter Festlegung des Logarithmus [math] \varphi_1 + \varphi_2 +\varphi_3 = 0[/math].[br][color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] der 3 [color=#0000ff][i][b]Loxodromenscharen[/b][/i][/color] ist der gemeinsame [/size][size=85][color=#BF9000][i][b][size=85][color=#B45F06][i][b]Kreis[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color] durch die Pole.[br]Leider ist es uns nicht gelungen, mit [color=#cc0000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] Schnittpunkte von [color=#134F5C][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color] berechnen und anzeigen zu lassen.[br][br][color=#cc0000][u][i][b]Unten: [/b][/i][/u][/color]Im Grenzfall [math]\alpha=90°[/math] erhält man 3 [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color], deren [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] orthogonal zum [color=#B45F06][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch [math]z_1,z_2,z_3[/math][br]sind. Betrachtet man die [color=#B45F06][i][b]Kreisscheibe[/b][/i][/color] als [color=#0000ff][i][b]hyperbolische Ebene[/b][/i][/color], so sind die [color=#00ffff][i][b]Kreisbögen[/b][/i][/color] innerhalb des (absoluten) [color=#B45F06][i][b]Kreises[/b][/i][/color][br]GERADEN der [color=#0000ff][i][b]hyperbolischen Ebene[/b][/i][/color] ([b]Poincaré[/b]sches [color=#0000ff][i][b]Kreisscheiben-Modell [/b][/i][/color]).[br]Die Achsen der [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] gehen im [color=#0000ff][i][b]Quadrik-Modell[/b][/i][/color] der [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] gemeinsam durch den Pol des [color=#B45F06][i][b]Kreises[/b][/i][/color] [math]z_1,z_2,z_3[/math],[br]das[color=#ff7700][i][b] 6-Eck-Netz[/b][/i][/color] gehört also zum [b]Fall I[/b].[br]Im[b] Beltrami-Klein[/b]schen [color=#0000ff][i][b]Kreisscheiben-Modell[/b][/i][/color] sind die [color=#00ffff][i][b]hyperbolischen Kreise[/b][/i][/color] tatsächlich [color=#999999][i][b]Geraden[/b][/i][/color] aus 3 [color=#444444][i][b]Geradenbüscheln[/b][/i][/color].[/size]

[size=85][color=#cc0000][u][i][b]Unten[/b][/i][/u][/color]: Grenzfall [/size][math]\alpha=0°[/math].