[b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br]アプレット、背景、実装の順に見ていきましょう。[br][/b]

[size=150][size=100][color=#0000ff]音楽の背景は数学というよりも、[br]算数でたいていのことは十分わかります。[br][br]ただし、自然数すら０スタートで数える数学とはちがって、[br]1個目が１という素朴な数え方なので、かえって違和感があるかもしれません。[br]肩の力をぬいて、気楽に調べましょう。[br][/color][/size][b][br]＜白鍵だけで長調と短調ができる＞[/b][/size][br]音と音の間隔の基本は全音と半音です。[br]楽器の鍵盤を用意します。キーボードアプリでも、写真でもなんでもいいです。[br]白鍵が下にあり、黒鍵が挟まるところと白鍵が続くところがあります。[br]白鍵がとなりあう方がレアですね。[br]白鍵と白鍵の間に１つ黒鍵が入る音程（音の隔たり、インターバル）を[b]全音[/b]、隣り合う鍵盤の音程を[b]半音[/b][br]といいました。[br][br]主音（スタート）を１として「ド」（C）から[br][u]白鍵だけを１、２、３、４、５、６、７、８と数えます[/u]。[br]これを[b]ドレミファソラシド　(ハニホヘトイロハ＝C,D,E,F,G,A,B,C）[/b]と呼びますね。[br]この音の階段、音階（スケール）を[b]メジャー[/b]（長調）といいました。[br]だから、このドレミファソラシドの音階はハ長調（Cメジャー）スケールと言えますね。[br]だから、黒鍵のありを２、なしを１とすると、２２１２２２１の音程ですから、[b]全全半全全全半です。[/b][br][br]主音（スタート）を１として「ラ」（A）から[br][u]白鍵だけを１，２，３，４，５，６，７，８と数えます。[/u][br]これを[b]ラシドレミファソラ（イロハニホヘト＝ABCDEFGA）[/b]と呼びますね。[br]この音のスケールを[b]マイナー[/b](短調）といいました。[br]だから、このラシドレミファソラの音階をイ短調（Aマイナー）スケールと言えますね。[br]黒鍵のありなしで２１２２１２２２で、全半全全半全全全になっています。[br][br]数字だけ見ると、とても不規則で嫌な感じがする人もいるでしょう。[br][br]たとえば、ヤマハのPSS-A50は１周期12鍵盤×３＋１＝37鍵盤あります。[br]鍵盤の最低の音ド（C2）から、最高の音ド（C5)まであります。[br]番号が12増えると音程が１オクターブ上がり、音名は変わらないですね。[br][br][b][size=150]＜白鍵だけでスケールが増やせる＞[/size][/b][br]白鍵だけひくときに、Cを１にするとメジャー、Aを１にするとマイナーでした。[br]では、他の白鍵をスタートの１にすると音程と音階はどうなるでしょう。[br][br]実は大昔からわかっていて、教会モードという音階名まで１つ１つついています。[br]C＝１はイオニアン（メジャー）[b][color=#0000ff]全全半[/color]全 [/b]全全半[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[b][color=#0000ff]全半全[/color]全 [/b]全半全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[b][color=#0000ff]半全全[/color]全 [/b]半全全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#ff0000]全全全[/color]半 [/b]全全半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[b][color=#0000ff]全全半[/color]全 [/b]全半全[br]A＝１はエオリアン　　　　　　[b][color=#0000ff]全半全[/color]全 [/b]半全全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[b][color=#9900ff]半全全半 [/color][/b]全全全[br][br]名前の由来と使い方とかは今は、気にしないことにします。[br][br]音程を「[b]ただの文字列[/b]」として観察してみましょう。[br][br][b][color=#9900ff][u][size=150]質問：７つの教会モードのスケールの共通点とちがいを探ろう。[br][/size][/u][/color][/b][br]音階の1個目の白鍵を、ただ、C,D,E,F,G,A,Bと１つ右にずらしていっただけでした。[br]だから、音程の[b]全全半全全全半[/b]も１こずつ進んでいますね。[br][b]「全全半全全全半」を文字列としてみると、始まりが違うだけで、並びの周期は同じです。[br][/b]さらに、面白いのは、最初の4文字はB＝１のロクリアンを除いて、全3個と半１個があります。[br]だから、[b][color=#0000ff]１番と５番の音程は全×３＋半[/color][/b]で共通になっています。これを[b][color=#0000ff]完全５度[/color][/b]といいます。[br][b][color=#0000ff][size=150][size=200]完全５度はすごいですね。[br]CならG、DならA、EならB、[br]FならC、GならD、AならE[br][/size][/size][/color][/b]これらはほぼほぼどんなスケールでも綺麗に聞こえるということです。[br]完全５度は、また、和音（コード）を時間とともにつないでいく、コード進行の上でも大切です。[br]キーボードでいうと、白黒が交互に並ぶのに[b]1つだけ白白をはさむ5番目[/b]です。[br][br]（[b]ロクリアンモード[/b]だけは半全全半だから、１つの全が半になっていて音程が短いね。[br]だから、このレアな５度を減５度（-５）といいます。）[br][br][size=150][b]＜他の完全は？＞[/b][br][/size][br]完全５度が１つの例外を除いて、普遍的にみられることがわかりました。[br]では、他の完全な音程を探してみましょう。[br][br]あります。[br]１番から8番までいくと、かならず１オクターブ上がるので完全８度という名前がついています。[br]当たりまえでつまらないです。[br][br]あります。[br]1番から４番までいくと、[b]全全半、全半全、半全全[/b]のどれかになる。（例外は[b]リディアン[/b]の全全全）[br]この全＋全＋半のことを、[b][color=#0000ff]完全4度[/color][/b]といます。[br]キーボードでは[b]白鍵の４番目までに白白が１つはさむ音程[/b]です。[br][color=#0000ff][size=150][size=200][b]CならF、DならG、EならA、[br]GならC、AならD、BならE[/b][br][/size][/size][/color]完全４度の音を選ぶと、綺麗に聞こえるということですね。[br]また、完全４度は、コード進行でも大切です。

[b][size=150]＜ダイアトニック３和音＞[br][/size][/b]２，３，４をとばして、白鍵の１番と５番を同時に押してみます。[br]完全5度を重ねておけば、メジャーもマナー区別のない２和音ができます。[br][br]では3度を重なるとどうなるでしょうか。[br]２、４を飛ばして、白鍵の１番と３番と5番を同時に押してみます。[br][br]C＝１はイオニアン（メジャー）[color=#38761d][b]全全[/b][/color]半全全全半　[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[color=#0000ff][b]全半[/b][/color]全全全半全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全[/b][/color]全全半全全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#38761d]全全[/color][/b]全半全全半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[color=#38761d][b]全全[/b][/color]半全全半全[br]A＝１はエオリアン　　　　　　[color=#0000ff][b]全半[/b]全[/color]全半全全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[b]半全[/b]全半全全全[br][br]半半というのはありえないので、全全か全半か半全です。[br][b][color=#38761d]全全[/color][/b]というのは[b]長３度（メジャー[/b]3）、[b][color=#0000ff]全半か半全[/color][/b]が[b]短３度（マイナー[/b]３）です。[br]１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５を同時に引いたのが３和音です。[br]C=1の１，３，５はC３、つまり、C[br]D=1の１，３，５はD－３、つまり、Dm[br]E=１の１，３，５はE－３、つまり、Em[br]F=１の１，３，５はF３、つまり、F[br]G=１の１，３，５はG３、つまり、G[br]A＝１の１，３，５はA－３、つまり、Am[br]B＝１の１，３，５はB－３・－５、つまり、Bm-5[br][br]この和音は、Cメジャースケールの音だけを使った和音なので、[br]特別な名前、ダイヤトニックスケールコードという名前がついてます。[br]もし、Cメジャースケール（C,D,E,F,G,A,B)ならコードは、[br]１，４，５番（度）のC,F,Gはメジャーです。[br]のこり、１，４番（度）の間D,Eと５、８番（度）の間A,Bはマイナーです。特に７番（度）は[br]m-7という独特に不安定な響きのコードになります。[br][br]ここで、絶対的にスケールの１に合わせた、度数で再表示してみましょう。[br]そして、７を超えた分は７をひき、小さい度数（番号）順に表示します。（つまり、疑似mod7）[br][u]１，３[/u]，５はC[br][color=#9900ff]２，[/color][u][color=#9900ff]４[/color]，６[/u]はDm[br]３，[b][color=#0000ff]５，７[/color][/b]はEm[br]１，[u]４，６[/u]はF[br]２，[color=#0000ff][b]５，７[/b][/color]はG[br][u]１，３[/u]，６はAm[br][color=#9900ff]２，４[/color]，７はBm-5[br][br]ダイアトニックスケールコードは７つありますが、１つおきに見ると、[br]白鍵の番号が２つずれるだけなので、２音ずつ共通音があります。コード名を音の集合ととらえると、[br]積集合の要素が2個ということです。[br][b]C∩Em={3,5}[br][/b][u]Dm∩F={4,6}[br][/u]Em∩G={5,7}[br][u]F∩Am={1,6}[/u][br]G∩Bm-5={2,7}[br][b]Am∩C={1,3}[br][/b]Bm-5∩Dm={2,4}[br][br]Cから見るとEmとAmは2音共通なので類似度が高いですね。[br]Fから見るとDmとAmは近いです。[br]Gから見るとEmとBm-5は近いです。

[b][size=150]＜ダイアトニック４和音＞[br][/size][/b]２，４，６を飛ばして、白鍵の１番と３番と5番と７番を同時に押してみます。[br][br]C＝１はイオニアン（メジャー）[b][color=#38761d][u]全全半全全全[/u][/color][/b]半　[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[b][color=#0000ff]全半全全全半[/color][/b]全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全全全半全[/b][/color]全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#38761d][u]全全全半全全[/u][/color][/b]半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[color=#0000ff][b]全全半全全半[/b][/color]全[br]A＝１はエオリアン　　　　　　[color=#0000ff][b]全半全全半全[/b][/color]全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全全半全全[/b][/color]全[br][br]1番から７番までの音程は全５[b]半１[/b]か全４[b]半２[/b]のどちらかです。[br][color=#38761d][b]半１[/b][/color]というのは[b]長７度（メジャー７[/b]）、[b][color=#0000ff]半２[/color][/b]が[b]短７度（マイナー７[/b]）ですが、[br][b][color=#0000ff]マイナー７が普通なのでマイナーをつけずにただの７度[/color][/b]といいます。[br]１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５を同時に引いたのが３和音です。[br]C=1の１，３，５、７はC３・７、つまり、Cmaj7[br]D=1の１，３，５、７はDー３・ー7、つまり、Dm7[br]E=１の１，３，５、７はEー3・ー7、つまり、Em7[br]F=１の１，３，５、７はF３・７、つまり、Fmaj7[br]G=１の１，３，５、７はG３・ー７、つまり、G7[br]A＝１の１，３，５、７はA－３・－７、Am7[br]B＝１の１，３，５、７はB－３・－５・－７、つまり、Bm7-5[br][br]ここで、絶対的にスケールの１に合わせた、度数で再表示してみましょう。[br]そして、７を超えた分は７をひき、小さい度数（番号）順に表示します。（つまり、疑似mod7）[br]１，３，５、７はCmaj7[br]１、２，４，６はDm７[br]２、[u]３，５[/u]，７はEm７[br]１，３、４，６はFmaj7[br]２，４、５，７はG７[br][u]１，３，５[/u]、６はAm７[br]２，４，６、７はBm７-5[br][br]ダイアトニックスケールコードは７つありますが、１つおきに見ると、[br]白鍵の番号が２つずれるだけなので、３音ずつ共通音があります。[br]コード名を音の集合ととらえると、積集合の要素が３個ということです。[br]（例）Am7 ∩ C＝｛１，３，５｝[br]C=｛１，３，５｝（1番とする）からみてEm7（３番ｍ７）、Am7(６番ｍ７）が近いです。[br]F＝｛４，６，１｝（４番）からみてDm7（２番ｍ７）、Am７が近いです。[br]G＝｛２，５，７｝（５番）からみてEm7、Bm7-5（７番ｍ７－５）が近いです。[br]ただし、キーとなる1番目の和音をトニックといい、主たる響きになります。[br]だから、１つおきの類似性という視点から見たら、１つおきに代理コードとして使えそうですが、[br]瞬間瞬間の響きの共通点だけではなく、通したときの視点からみると、トニックの代理が最優先になります。[br]１番の代理は３ｍ７、６ｍ７の2個　覚え方１±２＝３ｍ、－１ｍ≡３ｍ７、６ｍ７[br]４番の代理は２ｍ７の1個　覚え方４－２＝２ｍ[br]５番の代理は７ｍ7-5の1個　覚え方５＋２＝７ｍ７－５[br]が標準的な考え方になるようです。[br][br][b][size=150]＜楽器演奏の場面では＞[/size][/b][br]たとえば、ピアノでは、左手でベース音（コードの１の音）を鳴らしたり、[br]合奏では、ベース担当の人がいたりします。[br]だから、セブンスの音を出すときは、[br]・ベース音を半音下げたのがmaj7[br]・ベース音を全音下げたのが７[br]という解釈をすることが多いです。それは、ギター演奏でもそうです。[br]ベースランニングという奏法まであるくらいです。[br]そもそも、ベース音とセブンス音は順に押さえると開きすきて大変。[br]オクターブを上げ下げすると、ベースとセブンスは音が近くて衝突しやすい。[br]だから、ベースをぬいてしまうのですね。

[color=#9900ff][u][b][size=150]質問：12個の主音に対するメジャースケール上の７つのコードを表示するアプレットを作るにはどうしたらよいでしょう。[br][/size][/b][/u][/color][br]クロマチック音名を文字列にします。[br]NameS={"B","C","C#","D","D#","E","F","F#","G","G#","A","A#"}　//音名の#系です。[br]C4={"maj7","m7","m7","maj7","7","m7","m7-5"} //4和音[br]C3={"","m","m","","","m","m-5"}　//3和音[br]名前リストを２オクターブ分とります。[br]NS2=join(NameS,NameS)[br]インデックスはgeogebraなら１から24番になります。[br]たとえば、Bを主音にしたときにメジャースケールのインデックスは[br]M={１，３，５、６、８，１０，１２}ですから、[br]ｋ＝NameS2(n）を主音にするメジャースケールのドレミファソラシド名は[br]doremi=sequence(NS2(k-1+M(i)), i, 1,7)[br]doremi+C3で３和音、[br]doremi+C4で４和音の和音名になります。[br]キーを選ぶスライダーをｎ（１以上12以下）とすると、[br]選んだキーはNameS(n)のテキストになります。[br][br]（コードやキーの名前を♭にした表示も考えましたが、内部バグらしく、表示がちがってました。）[br]このアプレットは、キーを指定すると、[br]そのキーのスケールでの和音名が出るのは便利ですが、コードの音程の理由は確認できません。[br][br][color=#9900ff][u][b][size=150]質問：スケールの音程とコードの音程が視覚化できるアプレットはどうやって作りますか？[br][/size][/b][/u][/color][br]12種類の音名があるので、12角形の点にします。[br][b]たとえば、e^(i 2π/k) k=1...12として、12個の複素数ｚ１からｚ１２を設定[/b]しましょう。[br]12音名のリストNameS={"B", "C",......., "A#"}にたいして、[br]NameS(1), NameS(2),....,NameS(12)を１つ１つのテキストオブジェクトとして、[br][b]txt1, txt2,.....txt12[/b]と名前をつけなおします。[br]そうして、それぞれのテキストオブジェクト[b]txt kの「設定」の「位置」のリストから対応するｚk[/b][br]を選ぶべば、12個の頂点に、音名を表示できるようになるでしょう。[br][br]1つ１つの複素数の他に、複素数のリスト[b]pt=sequence(e^(i 2π/k), k, 1, 12)を設定[/b]しておけば、[br]pt(x)のｘを適当に選ぶことで、スケールに関係のある点を強調できます。[br]（そして、選ばれた番号の頂点ｋに対して、mod（ｋ－１,12）+1をすることで、１２のときに１２にする[br]変則mod12を作ることで、ｋの変化に対して、１，２、…、１２、１，２、…。１２と返します。）[br][br]選ばれたスケールの番号[b]M={１，３，５、６、８，１０，１２}[/b][br]キーをn=2としたばあい、[b]M＋n-1[/b]={2, 4, 6, 7, 9,11,13}と、リストをシフトして、[b]MN[/b]という名前をつけます。そして、[b]Sequence(Mod(MN(k)-1, 12)+1,k,1,7)[/b]とすると、12をこえたら12けずれます。[br]それを[b]MN2[/b]とすると＝{ 2, 4, 6, 7, 9,11,1}となり、複素数の番号をはずしてた分を、12個に納めます。[br][br]ここで、zip(pt(k),k,MN2)とするとMN2番目の頂点、つまりキーが２の[b]スケール音名を強調[/b]できますね。[br][br]最後に和音がサイクリックな音名の関係、つまり円環構造なので、[br][b]スケール上の３和音、４和音の点を多角形の頂点[/b]として選びだしましょう。[br]3和音ならば、その和音がキーのi 番目なら、[b]Cp3＝｛MN2(i),MN2(i+2),MN2(i+4)｝と番号リスト[/b]を作ります。すると、12等分の点から[b]polygon(pt(Cp3(1)),pt(Cp3(2)),pt(Cp3(3)))[/b][br]とするだけで三角形が指定できます。[br]４和音場合は、スケール上の位置MN2で、さらに偶数番増やせばよいですね。[br][br]くわしくは、かくれた「数式」を広げて、グラフィックビューを一時的にせまくして、観察しましょう。[br][br]