Альбом подвижных чертежей к задачнику М.А. Волчкевича 7-8 кл

Алексей Сгибнев, Nov 22, 2019

Подвижные чертежи к избранным задачам из задачника М.А. Волчкевича [url=https://biblio.mccme.ru/node/6299/]"Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы"[/url] (2-е изд., доп., 2017). Точки, которые надо двигать, крупнее остальных. В нижнем левом углу бывает значок "анимации", запускающий движение. В нижнем правом есть значок, разворачивающий чертёж на весь экран. В нижней строке можно "листать" шаги построения чертежа. В верхнем правом углу – полоска стиля, в ней можно менять цвет, заливку, размер, тип линий и т.д. Если углы помечены дужками, а стороны штрихами, значит, их равенство дано. Если величины углов и отрезков выведены на экран, значит, их равенство надо доказать. Во многих задачах то, что [color=#0a971e]дано[/color], помечено зелёным, а то, что [color=#c51414]надо доказать[/color] – красным. Чертежи можно свободно достраивать (для сброса дополнительных построений обновите страницу в браузере) и скачивать. При наличии аккаунта в Геогебре их можно также копировать себе в облако и сохранять с изменениями. Автор разделов "Параллелограмм" и "Дополнительные построения, связанные с параллелограммом" – Татьяна Куссева. Если вы нашли опечатки или хотите присоединиться к проекту и пополнить общедоступный альбом своими чертежами, пишите мне на адрес a.i.*gibnev@*ch-int.ru. (*=s) [url=https://youtu.be/ZIPMp6YV9-0][color=#0a971e]Видеогид по альбому, 9 минут.[/color][/url] [color=#b20ea8][url=https://drive.google.com/file/d/1PXRYGC3TvpdgVN56shFas_SnOUN0pdZy/view?usp=sharing][b]Статья "Альбом подвижных чертежей для обучения геометрии"[/b], 4 страницы[/url], "Математика", 2020, № 8[/color] Книга [url=https://www.geogebra.org/m/qsqknnua][color=#c51414][b]"Геометрия на подвижных чертежах"[/b][/color][/url] –[color=#c51414] новое издание, 10 [/color]готовых занятий геометрического кружка на компьютере. [url=https://youtu.be/z6odxedOwas][color=#c51414]Видеоурок по Геогебре, 19 минут.[/color][/url] [url=https://drive.google.com/file/d/14MiHHTBCEKau0HT9xVvPbLKhhROKqdKV/view?usp=sharing][color=#b20ea8]Руководство по Геогебре, 6 стр.[/color][/url]. [b]Группа [url=https://t.me/joinchat/Eg7psxQ1MLIrk1bKwOjS8A]"Динамическая геометрия"[/url] в телеграме[/b] Другие мои проекты: [url=https://www.geogebra.org/m/edfut8r2][b]Коллекция живых чертежей к учебнику М.А. Волчкевича "Геометрия 9 кл."[/b][/url] [url=https://www.geogebra.org/m/jdg8nz9e]Видеокурс С ПРАКТИКОЙ "ГеоГебра для учителей"[/url] (совместно с А.О. Сысоевым и Н.М. Нетрусовой) [url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLnnFSS9Rswo27FPmawSghhRaxuV2qu091]видеокурс "Алгебра на компьютере"[/url] Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №19-29-14217.

Table of Contents

  1. Аксиомы прямой
    1. 5. Прямые через 4 точки
    2. 16. Прямая через 5 звеньев
  2. Отрезки
    1. 6. Расстояние между серединами
    2. 19. Домики и колодец
  3. Углы
    1. 2. Биссектрисы смежных углов
    2. 6. Угол между перпендикулярами
    3. 11. Перпендикулярные биссектрисы
  4. Первый признак равенства треугольников
    1. 6. Два квадрата
    2. 7. Три квадрата
    3. 8. Пятиугольник
    4. 9. Симметричный отрезок
  5. Равнобедренный треугольник
    1. 1. Когда биссектриса является медианой и высотой
    2. 2. Свойство равнобедренного треугольника
    3. 4. Равные отрезки
    4. 5. Признак равнобедренного треугольника
    5. 8. Диагонали дельтоида
  6. Третий признак равенства треугольников
    1. 1. Равные отрезки
  7. Продолжение медианы на свою длину
    1. 3. Равные углы
  8. Равенство прямоугольных треугольников
    1. 7. Когда высоты равны
    2. 9. Высоты к медиане
    3. 10. Прямая через середины
  9. Внешний угол треугольника
    1. 5. Два угла в ∆
    2. 6. Сумма двух углов больше третьего
  10. Теорема о большей стороне
    1. 4. Чевиана короче боковой стороны
    2. 6. Медиана и два угла
    3. 7. Отрезок в треугольнике
    4. *8. ∆∆ с парой равных сторон
  11. Неравенство треугольника
    1. 2. Неравенство трех точек
    2. 3. Целочисленная сторона
    3. 7. Сумма расстояний и полупериметр
    4. 8. Два отрезка
    5. 10. Неравенство четырёх точек
    6. 13. Отрезок и полупериметр
    7. 14. Сумма диагоналей
    8. 17. Неравенство медианы
    9. 18. Средняя линия
    10. 19. Неравенство "резинки"
    11. 20. Сумма расстояний и периметр
    12. 21. Две точки в треугольнике
    13. 22. Минимум расстояний до 4 вершин
    14. *23. Опять сумма расстояний до 4 вершин
    15. 25. Два периметра
    16. 27. Треугольник и четырехугольник
    17. 29. Сумма расстояний и периметр 4-ка
  12. Параллельность. Сумма углов треугольника
    1. Теорема об углах треугольника
    2. 3. Два перпендикуляра
    3. 4. Угол и параллельные
    4. 5. Две пары параллельных
    5. 12. Угол между биссектрисами
    6. 15. Правильный треугольник в квадрате
    7. 16. Квадрат и два правильных треугольника
    8. 18. Сумма углов звезды
    9. 20. Два угла с перпендикулярными сторонами
    10. 22. Ломаная на треугольнике
    11. 24. Три равных отрезка
    12. 25. Удвоение сторон
    13. 26. Шестиугольник
  13. Расчет углов в равных треугольниках, дополнительные построения
    1. 3. Два квадрата и два отрезка
    2. 4. Два треугольника и прямая
    3. 5. Угол 60˚ в треугольнике
    4. 6. Два квадрата и прямая
    5. 7. Угол и двойной угол
    6. 9. Непараллельные прямые
    7. 10. Квадрат и угол
    8. 13. Угол 45˚ в квадрате
    9. 17. Правильный ∆ и угол 120˚
    10. *18. Правильный ∆ и угол 150˚
  14. Геометрические места точек
    1. 1. ГМТ, равноудаленных от двух точек
    2. 11. ГМ точек, которые ближе к одной данной, чем к другой
    3. 13. Угол и отрезок
    4. 18. ГМ точек, равноудаленных от сторон угла.
    5. 20. Три биссектрисы
  15. Знакомство с окружностью
    1. 3. Хорда и диаметр
    2. 4. Оптимальный отрезок
    3. 5. Расстояние от прямой до окружности
    4. 6. Параллельные хорды
    5. 8. Хорды и расстояния
    6. 10. Две пары хорд
    7. 11. Отрезки хорд равны
    8. 12. Хорды равны – прямые параллельны
    9. 12. Хорды равны – прямые параллельны
    10. 29. Семь равных звеньев
  16. Параллелограммы
    1. 4. Правильные ∆∆ на сторонах #
    2. 5. Биссектрисы углов параллелограмма
    3. 7-1. Середины сторон параллелограмма
    4. 7-2. Середины сторон параллелограмма
    5. 8. Диагональ разбита на 3 равные части
    6. 15. Расстояния до боковых сторон
    7. 16. Две прямые через центр
    8. 18. Два параллелограмма
    9. 19. Замкнётся ли ломаная?
    10. 21. Центры двух параллелограммов
  17. Дополнительные построения, связанные с параллелограммом
    1. 1. Отрезок внутри угла пополам
    2. 3. Прямая через недоступную вершину
    3. 4. Угол высекает отрезок данной длины
    4. 5. Отношение сторон
    5. 6. Параллелограмм в треугольник
    6. 7. Отрезок в параллелограмме
    7. 8. Отрезки в параллелограмме
  18. Медиана прямоугольного треугольника
    1. Свойство прямоугольного треугольника
    2. 3. Задача о котенке
    3. 7. Отрезки в параллелограмме
  19. Средняя линия треугольника
    1. Теорема о средней линии треугольника
    2. 3. Середины чевиан
    3. 5. Теорема Вариньона
    4. 6. Диагонали и средние линии
    5. 8. Середины сторон и диагоналей
    6. 9. Три средние линии
    7. 10. Равные углы со сторонами
    8. 15. Параллелограмм в шестиугольнике
    9. 16. Равные медианы
    10. 17. Диагональ параллелограмма
    11. 23. Равнобедренный ∆ в трапеции
    12. 27. Квадраты на сторонах ∆
    13. 30. Когда ломаная замкнется
    14. 36. Три середины на прямой?
    15. 37. Четыре середины
    16. 39. Основания перпендикуляров и середина основания
  20. Средняя линия трапеции
    1. 8. Середины отрезков
    2. 10. Биссектрисы углов трапеции
    3. 14. Три перпендикуляра и четвёртый
    4. 16. След четвертой вершины
    5. 17. Прямая по основаниям высот
    6. 18. Два отрезка диагонали
  21. Теорема Фалеса
    1. Теорема Фалеса.
    2. Д1. Три пары параллельных
  22. Окружность 2
    1. Теорема о высотах ∆
    2. Окружность Эйлера
    3. 5. Вписанный четырехугольник
    4. 6. Середины хорд
    5. 7. Прямая через середины хорд
    6. 9. Окружности на сторонах ∆
    7. 10. Два прямоугольника с общей вершиной
    8. 12. Середины всех хорд
    9. 14. Центр на средней линии
    10. 17. Диагонали квадратов
    11. 22. Окружность Эйлера
    12. 24. Траектория середины
    13. 28. Вписанный пятиугольник
    14. 31. Перпендикулярные прямые в ∆
    15. 34. Перпендикулярные хорды
    16. *36. Прямая через две окружности
    17. Копия Окружность девяти точек. Доказательство без слов
  23. Биссектрисы пересекаются в одной точке
    1. 3. Угол между биссектрисами
    2. 4. Средняя линия и центр вписанной окружности
    3. 5. Периметр и сумма двух сторон
    4. 19. Квадрат и ∆
  24. Вписанные углы
    1. 14. Две окружности и подвижная хорда
  25. Угол между касательной и хордой
    1. 7. Касательные пересекают вторые окружности
  26. ГМТ с постоянным углом
    1. 3. Четыре круга
    2. 4. Пять кругов
    3. 7. ГМ середин хорд
    4. 12. Траектории замечательных точек
  27. Площади
    1. Теорема о площади параллелограмма
    2. 3. Свойство медианы ∆
    3. 4. Площадь и средняя линия
    4. 20. Равновеликие параллелограммы
    5. 42. Две середины
  28. Применение площадей
    1. 1. Сумма расстояний
    2. 11. Замечательное свойство трапеции
    3. 12. "Замечательный признак трапеции"

1.

Аксиомы прямой

  • 1. 5. Прямые через 4 точки
  • 2. 16. Прямая через 5 звеньев

1.1.

–

1.2.

–

2.

Отрезки

  • 1. 6. Расстояние между серединами
  • 2. 19. Домики и колодец

2.1.

–

2.2.

–

3.

Углы

  • 1. 2. Биссектрисы смежных углов
  • 2. 6. Угол между перпендикулярами
  • 3. 11. Перпендикулярные биссектрисы

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

4.

Первый признак равенства треугольников

  • 1. 6. Два квадрата
  • 2. 7. Три квадрата
  • 3. 8. Пятиугольник
  • 4. 9. Симметричный отрезок

4.1.

–

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Равнобедренный треугольник

  • 1. 1. Когда биссектриса является медианой и высотой
  • 2. 2. Свойство равнобедренного треугольника
  • 3. 4. Равные отрезки
  • 4. 5. Признак равнобедренного треугольника
  • 5. 8. Диагонали дельтоида

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

6.

Третий признак равенства треугольников

  • 1. 1. Равные отрезки

6.1.

–

7.

Продолжение медианы на свою длину

  • 1. 3. Равные углы

7.1.

–

8.

Равенство прямоугольных треугольников

  • 1. 7. Когда высоты равны
  • 2. 9. Высоты к медиане
  • 3. 10. Прямая через середины

8.1.

–

8.2.

–

8.3.

–

9.

Внешний угол треугольника

  • 1. 5. Два угла в ∆
  • 2. 6. Сумма двух углов больше третьего

9.1.

–

9.2.

–

10.

Теорема о большей стороне

  • 1. 4. Чевиана короче боковой стороны
  • 2. 6. Медиана и два угла
  • 3. 7. Отрезок в треугольнике
  • 4. *8. ∆∆ с парой равных сторон

10.1.

–

10.2.

–

10.3.

–

10.4.

–

11.

Неравенство треугольника

  • 1. 2. Неравенство трех точек
  • 2. 3. Целочисленная сторона
  • 3. 7. Сумма расстояний и полупериметр
  • 4. 8. Два отрезка
  • 5. 10. Неравенство четырёх точек
  • 6. 13. Отрезок и полупериметр
  • 7. 14. Сумма диагоналей
  • 8. 17. Неравенство медианы
  • 9. 18. Средняя линия
  • 10. 19. Неравенство "резинки"
  • 11. 20. Сумма расстояний и периметр
  • 12. 21. Две точки в треугольнике
  • 13. 22. Минимум расстояний до 4 вершин
  • 14. *23. Опять сумма расстояний до 4 вершин
  • 15. 25. Два периметра
  • 16. 27. Треугольник и четырехугольник
  • 17. 29. Сумма расстояний и периметр 4-ка

11.1.

–

11.2.

–

11.3.

–

11.4.

–

11.5.

–

11.6.

–

11.7.

–

11.8.

–

11.9.

–

11.10.

–

11.11.

–

11.12.

–

11.13.

–

11.14.

–

11.15.

–

11.16.

–

11.17.

–

12.

Параллельность. Сумма углов треугольника

  • 1. Теорема об углах треугольника
  • 2. 3. Два перпендикуляра
  • 3. 4. Угол и параллельные
  • 4. 5. Две пары параллельных
  • 5. 12. Угол между биссектрисами
  • 6. 15. Правильный треугольник в квадрате
  • 7. 16. Квадрат и два правильных треугольника
  • 8. 18. Сумма углов звезды
  • 9. 20. Два угла с перпендикулярными сторонами
  • 10. 22. Ломаная на треугольнике
  • 11. 24. Три равных отрезка
  • 12. 25. Удвоение сторон
  • 13. 26. Шестиугольник

12.1.

–

12.2.

–

12.3.

–

12.4.

–

12.5.

–

12.6.

–

12.7.

–

12.8.

–

12.9.

–

12.10.

–

12.11.

–

12.12.

–

12.13.

–

13.

Расчет углов в равных треугольниках, дополнительные построения

  • 1. 3. Два квадрата и два отрезка
  • 2. 4. Два треугольника и прямая
  • 3. 5. Угол 60˚ в треугольнике
  • 4. 6. Два квадрата и прямая
  • 5. 7. Угол и двойной угол
  • 6. 9. Непараллельные прямые
  • 7. 10. Квадрат и угол
  • 8. 13. Угол 45˚ в квадрате
  • 9. 17. Правильный ∆ и угол 120˚
  • 10. *18. Правильный ∆ и угол 150˚

13.1.

–

13.2.

–

13.3.

–

13.4.

–

13.5.

–

13.6.

–

13.7.

–

13.8.

–

13.9.

–

13.10.

–

14.

Геометрические места точек

  • 1. 1. ГМТ, равноудаленных от двух точек
  • 2. 11. ГМ точек, которые ближе к одной данной, чем к другой
  • 3. 13. Угол и отрезок
  • 4. 18. ГМ точек, равноудаленных от сторон угла.
  • 5. 20. Три биссектрисы

14.1.

–

14.2.

–

14.3.

–

14.4.

–

14.5.

–

15.

Знакомство с окружностью

  • 1. 3. Хорда и диаметр
  • 2. 4. Оптимальный отрезок
  • 3. 5. Расстояние от прямой до окружности
  • 4. 6. Параллельные хорды
  • 5. 8. Хорды и расстояния
  • 6. 10. Две пары хорд
  • 7. 11. Отрезки хорд равны
  • 8. 12. Хорды равны – прямые параллельны
  • 9. 12. Хорды равны – прямые параллельны
  • 10. 29. Семь равных звеньев

15.1.

–

15.2.

–

15.3.

–

15.4.

–

15.5.

–

15.6.

–

15.7.

–

15.8.

–

15.9.

–

15.10.

–

16.

Параллелограммы

  • 1. 4. Правильные ∆∆ на сторонах #
  • 2. 5. Биссектрисы углов параллелограмма
  • 3. 7-1. Середины сторон параллелограмма
  • 4. 7-2. Середины сторон параллелограмма
  • 5. 8. Диагональ разбита на 3 равные части
  • 6. 15. Расстояния до боковых сторон
  • 7. 16. Две прямые через центр
  • 8. 18. Два параллелограмма
  • 9. 19. Замкнётся ли ломаная?
  • 10. 21. Центры двух параллелограммов

16.1.

–

16.2.

–

16.3.

–

16.4.

–

16.5.

–

16.6.

–

16.7.

–

16.8.

–

16.9.

–

16.10.

–

17.

Дополнительные построения, связанные с параллелограммом

  • 1. 1. Отрезок внутри угла пополам
  • 2. 3. Прямая через недоступную вершину
  • 3. 4. Угол высекает отрезок данной длины
  • 4. 5. Отношение сторон
  • 5. 6. Параллелограмм в треугольник
  • 6. 7. Отрезок в параллелограмме
  • 7. 8. Отрезки в параллелограмме

17.1.

–

17.2.

–

17.3.

–

17.4.

–

17.5.

–

17.6.

–

17.7.

–

18.

Медиана прямоугольного треугольника

  • 1. Свойство прямоугольного треугольника
  • 2. 3. Задача о котенке
  • 3. 7. Отрезки в параллелограмме

18.1.

–

18.2.

–

18.3.

–

19.

Средняя линия треугольника

  • 1. Теорема о средней линии треугольника
  • 2. 3. Середины чевиан
  • 3. 5. Теорема Вариньона
  • 4. 6. Диагонали и средние линии
  • 5. 8. Середины сторон и диагоналей
  • 6. 9. Три средние линии
  • 7. 10. Равные углы со сторонами
  • 8. 15. Параллелограмм в шестиугольнике
  • 9. 16. Равные медианы
  • 10. 17. Диагональ параллелограмма
  • 11. 23. Равнобедренный ∆ в трапеции
  • 12. 27. Квадраты на сторонах ∆
  • 13. 30. Когда ломаная замкнется
  • 14. 36. Три середины на прямой?
  • 15. 37. Четыре середины
  • 16. 39. Основания перпендикуляров и середина основания

19.1.

–

19.2.

–

19.3.

–

19.4.

–

19.5.

–

19.6.

–

19.7.

–

19.8.

–

19.9.

–

19.10.

–

19.11.

–

19.12.

–

19.13.

–

19.14.

–

19.15.

–

19.16.

–

20.

Средняя линия трапеции

  • 1. 8. Середины отрезков
  • 2. 10. Биссектрисы углов трапеции
  • 3. 14. Три перпендикуляра и четвёртый
  • 4. 16. След четвертой вершины
  • 5. 17. Прямая по основаниям высот
  • 6. 18. Два отрезка диагонали

20.1.

–

20.2.

–

20.3.

–

20.4.

–

20.5.

–

20.6.

–

21.

Теорема Фалеса

  • 1. Теорема Фалеса.
  • 2. Д1. Три пары параллельных

21.1.

–

21.2.

–

22.

Окружность 2

  • 1. Теорема о высотах ∆
  • 2. Окружность Эйлера
  • 3. 5. Вписанный четырехугольник
  • 4. 6. Середины хорд
  • 5. 7. Прямая через середины хорд
  • 6. 9. Окружности на сторонах ∆
  • 7. 10. Два прямоугольника с общей вершиной
  • 8. 12. Середины всех хорд
  • 9. 14. Центр на средней линии
  • 10. 17. Диагонали квадратов
  • 11. 22. Окружность Эйлера
  • 12. 24. Траектория середины
  • 13. 28. Вписанный пятиугольник
  • 14. 31. Перпендикулярные прямые в ∆
  • 15. 34. Перпендикулярные хорды
  • 16. *36. Прямая через две окружности
  • 17. Копия Окружность девяти точек. Доказательство без слов

22.1.

–

22.2.

–

22.3.

–

22.4.

–

22.5.

–

22.6.

–

22.7.

–

22.8.

–

22.9.

–

22.10.

–

22.11.

–

22.12.

–

22.13.

–

22.14.

–

22.15.

–

22.16.

–

22.17.

–

23.

Биссектрисы пересекаются в одной точке

  • 1. 3. Угол между биссектрисами
  • 2. 4. Средняя линия и центр вписанной окружности
  • 3. 5. Периметр и сумма двух сторон
  • 4. 19. Квадрат и ∆

23.1.

–

23.2.

–

23.3.

–

23.4.

–

24.

Вписанные углы

  • 1. 14. Две окружности и подвижная хорда

24.1.

–

25.

Угол между касательной и хордой

  • 1. 7. Касательные пересекают вторые окружности

25.1.

–

26.

ГМТ с постоянным углом

  • 1. 3. Четыре круга
  • 2. 4. Пять кругов
  • 3. 7. ГМ середин хорд
  • 4. 12. Траектории замечательных точек

26.1.

–

26.2.

–

26.3.

–

26.4.

–

27.

Площади

  • 1. Теорема о площади параллелограмма
  • 2. 3. Свойство медианы ∆
  • 3. 4. Площадь и средняя линия
  • 4. 20. Равновеликие параллелограммы
  • 5. 42. Две середины

27.1.

–

27.2.

–

27.3.

–

27.4.

–

27.5.

–

28.

Применение площадей

  • 1. 1. Сумма расстояний
  • 2. 11. Замечательное свойство трапеции
  • 3. 12. "Замечательный признак трапеции"

28.1.

–

28.2.

–

28.3.

–

Information