Im Abschnitt vorher hat man gesehen, das man jede Exponentialfunktion [math]g\left(x\right)=a^x[/math] in eine natürliche Exponentialfunktion der Form [math]f\left(x\right)=e^{ln\left(a\right)\cdot x}[/math] umformen.[br][br]In diesem Abschnitt geht es darum, Situationen und Sachzusammenhänge mit einer natürlichen Exponentialfunktion zu simulieren.

Eine wichtige Frage, die sich hier stellt ist die Achsenspiegelung, wenn [math]a<1[/math] gilt.[br][br]Hier folgt die Erklärung mit folgendem Logarithmusgesetz:[br][br][math]ln\left(x^a\right)=a\cdot ln\left(x\right)[/math][br][br]Nehmen wir für a den Wert 0,5. Nun folgt daraus:[br][br][math]ln\left(0,5\right)=ln\left(\frac{1}{2}\right)=ln\left(2^{-1}\right)=-1\cdot ln\left(2\right)[/math][br][br]und schon sieht man das alle Zahlen zwischen 0 und 1 negative Logarithmuswerte geben:[br]Hier noch der allgemeine Beweis:[br][br][math]ln\left(\frac{1}{a}\right)=ln\left(a^{-1}\right)=-1\cdot ln\left(a\right)[/math][br][br]

Die zweite Erkenntnis, die man aus dem Graphen ablesen kann ist das der Schnittpunk mit der y-Achse immer gleich ist. Dies bedeutet alle Funktionen schneiden die y-Achse im Punkt A(0|1).[br][br]Da man mit den natürlichen Exponentialfunktionen Prozesse simulieren möchte. Man verwendet aufgrund der Sachzusammenhangs meistens die Variable t (für Zeit) statt x. Die Zeit beginnt zum Beobachtungszeitpunkt bei t=0. So liegt der Startpunkt bei f(0)![br][br]Nun soll aber nicht immer [math]f\left(0\right)=1[/math] gelten, sondern [math]f\left(0\right)=a[/math]! Beachten Sie bitte, dass der Parameter a nichts mit dem vorher erwähnten Parameter a zu tun hat, sondern jetzt neu eingeführt wird! In Analogie zum Abschnitt [b]2.4.2 Wirkung des Parameters a auf die e - Funktion[/b].[br][br]Hier finden Sie nochmal die entsprechende Geogebra-Datei:

Man erkennt mit Hilfe des Applets (Geogebra-Datei), dass für den Startwert der Funktion f mit [math]f\left(x\right)=a\cdot e^{k\cdot x}[/math] gilt:[br][br][math]f\left(0\right)=a\Rightarrow f\left(x\right)=a\cdot e^{k\cdot x}=f\left(0\right)\cdot e^{k\cdot x}[/math][br][br]Normalerweise werden bei solchen Prozessen die Variable t für die Zeit verwendet:[br][br][math]f\left(t\right)=f\left(0\right)\cdot e^{k\cdot t}[/math]