[size=85]Az [i]ABC [/i]háromszög síkjában adott egy [i]P[/i] pont.[br][/size][size=85]A [i]P [/i]a háromszög [i]A[/i]-ra illeszkedő [url=https://matekarcok.hu/a-haromszog-belso-szogfelezoi/]belső szögfelező[/url] egyenesére vonatkozó tükörképe [math]P_{\alpha}[/math].[br][/size][size=85]A [i]P [/i]a háromszög [i]B[/i]-re illeszkedő belső szögfelező [url=https://matekarcok.hu/tengelyes-tukrozes-fogalma-tulajdonsagai/]egyenesére vonatkozó tükörkép[/url]e [math]P_{\beta}[/math][/size].[br][size=85]A [i]P [/i]a háromszög [i]C[/i]-re illeszkedő belső szögfelező [url=https://www.geogebra.org/m/T5y668EE]egyenesére vonatkozó tükörkép[/url]e [math]P_{\gamma}[/math].[br][/size][size=85]Mi állítható a [math]P,P_{\alpha},P_{\beta},P_{\gamma}[/math], [/size][size=85]pontokról?[br]Mi állítható az [math]AP_{\alpha}[/math], [math]BP_{\beta}[/math], [math]CP_{\gamma}[/math] egyenesekről?[br][/size]

[list=1][*][size=85]A vizsgált négy pont egy körre illeszkedik.[/size][br][/*][*][size=85][/size][size=85]A vizsgált három egyenes egy pontban metszi egymást, vagy párhuzamosak. (A metszéspontot nevezhetjük a [i]P[/i] pont [i]ABC [/i][url=https://docs.google.com/document/d/1bgozwYjxgYlYUMoDrQ3vN9jKS_XultWGORYuyvYV2WQ/edit]háromszögre vonatkozó[/url][url=https://docs.google.com/document/d/1bgozwYjxgYlYUMoDrQ3vN9jKS_XultWGORYuyvYV2WQ/edit] konjugáltj[/url][url=https://docs.google.com/document/d/1bgozwYjxgYlYUMoDrQ3vN9jKS_XultWGORYuyvYV2WQ/edit][/url]ának.)[/size][/*][/list]

[size=85]Tekintettel arra, hogy a fenti bizonyításban csak a tengelyes tükrözés távolságtartó tulajdonságát és a kör fogalmát használtuk, ez a tétel abszolút geometriai tétel, így a hiperbolikus és gömbi geometriában is igaz.[/size]

[size=85]A [i]P [/i]mozgatásával arra a sejtésre juthatunk, hogy ha a [i]P[/i] illeszkedik a [url=https://www.geogebra.org/m/bT2hWCew]háromszög köré írt kör[/url]re, akkor a vizsgált [url=https://www.geogebra.org/m/G8rFcc6G]egyenesek párhuzamosak[/url].[/size]

[size=85]Annak bizonyítása, hogy a harmadik egyenes is párhuzamos az első kettővel, az előzőekkel egyező módon történhet,[/size]

[size=85]Milyen kapcsolat ismerhető fel a[/size][size=85] [math]CP[/math][/size] [size=85]és az [math]e_c[/math] [/size][size=85]egyenesek között?[/size]

[size=85]Kaptuk, hogy [math]e_a[/math] a [math]PC[/math]egyenes [math]f_{\gamma}[/math] egyenesre vonatkozó tükörképe.[br][br][/size][size=85]Most már visszatérhetünk a 2. sejtés bizonyítására. [br]A fentiek alapján a vizsgált egyenesek a [i]P [/i]pont [i]ABC[/i] háromszög oldalegyeneseire vonatkozó tükörképei által meghatározott szakaszok felező merőlegesei. [br]Ha a tükörképek háromszöget alkotnak, akkor a vizsgált egyenesek e háromszög köré írt körének középpontjában metszik egymást.[br][/size][size=85]A tükörképek akkor nem határoznak meg háromszöget, ha a [i]P[/i] az [i]ABC[/i] háromszög köré írt körének pontja,[/size]

[size=85]A 2. sejtés bizonyításkor igencsak használtunk euklideszi-geometriai fogalmakat (kerületi szögek, a háromszög belső szögek összege egyenesszög, ...), Ebből következően indokolt lehet, hogy mi veszi át a 2. tétel szerepét a nemeuklideszi geometriákban.[/size]

[size=85](Az applet [url=https://oroscafe.hu/2018/04/22/matematikus-kapta-a-primus-inter-pares-dijat/]Dr, Szilassi Lajos[/url] tanár úrnak köszönhető.)[br]Azt láthatjuk,, hogy a vizsgált egyenesek vagy nem metszik egymást, vagy egy pontban metszik egymást.[/size]

[size=85]Az látható, hogy a vizsgált egyenesek mindig egy pontban metszik egymást.[/size]

[size=85]Mi egy pont adott háromszögre vonatkozó konjugáltjának mértani helye, ha a pont végigfut az egyenesen?[/size]

[size=85]Úgy látszik, hogy a keresett mértani hely [url=https://www.geogebra.org/m/dud6k3rw]kúpszelet[/url] ([url=https://www.geogebra.org/m/PgqyFs6F]ellipszis[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/Dz3lTzZo]hiperbola[/url] vagy [url=https://www.geogebra.org/m/gs2jiTK8]parabola[/url]).[br][br][/size][size=85]Aki kíváncsi a bizonyításra, [url=https://docs.google.com/document/d/1bgozwYjxgYlYUMoDrQ3vN9jKS_XultWGORYuyvYV2WQ/edit]itt megtalálhatja[/url].[/size]

[size=85]Ezt a problémát 2017. novemberében [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos]Dr. Szilassi Lajos[/url] vetette/elevenítette fel. Az itt szereplő bizonyítások is az ő gondolatmenetein alapulnak.[/size]