Spiega perché ogni 12/11 di ora le lancette H ed M si sovrappongono.
sia t=0 un qualsiasi istante in cui le due lancette H e M sono sovrapposte. Questa sovrapposizione sia anche la tacca da cui contiamo le rotazioni delle due lancette. indichiamo per semplicità con h l'angolo[br][br]di cui ha ruotato la lancetta H e con m l'angolo di cui ha ruotato la lancetta M.[br][br]Per t=0 è h=m=0 ma la lancetta M, più rapida nel ruotare, passa avanti a quella H fino a che terminato[br]un giro completo e ruotato ancora un poco raggiungerà di nuovo , alle "spalle", la lancetta H.[br]Detto t il tempo della successiva sovrapposizione si avrà:[br] [math]m=h+2\pi[/math] dove [math]m=2\pi f_Mt[/math] e [math]h=2\pi f_Ht[/math] sono gli angoli di cui hanno ruotato H e M nel tempo t a disposizione.[br]Sostituendo le ultime due nella prima uguaglianza e semplificando il [math]2\pi[/math] si ottiene[br][math]\left(f_M-f_H\right)t=1[/math] e infine [math]t=\frac{1}{\left(f_M-f_H\right)}=\frac{1}{\left(\frac{1}{1h}-\frac{1}{12h}\right)}=\frac{12h}{12-1}=\frac{12h}{11}[/math][br][br][br]Altro metodo (molto più interessante e divertente...):[br][br]le lancette partono sovrapposte alle ore 0h0m0s, immagina che sia in corso una gara tra[br]le due lancette.... La lancetta dei minuti gira 12 volte più rapida. Quando la lancetta dei[br]minuti compie il suo primo giro completo, ovvero ritorna sulle 12h=0h, la lancetta delle ore[br]è scappata avanti di solo 1/12 di giro, cioè di un ora.[br][br]La lancetta dei minuti allora decide di compiere 1/12 di giro per raggiungere la lancetta delle[br]ore, ma questa, seppur 12 volte più lenta di quella dei minuti, nel frattempo è ulteriormente[br]avanza di (1/12)(1/12) giro.[br][br]La lancetta dei minuti vedendo che è arrivata ancora più vicina a quella delle ore, è a soli[br](1/12)(1/12) di giro, tenta di compiere l'ultimo balzo: copre (1/12)(1/12) di giro per raggiungere[br]la lancetta delle ore.[br][br]Ma con stupore la povera lancetta dei minuti si rende conto che nel frattempo la lancetta[br]delle ore, dodici volte più lenta, è ulteriormente avanzata di (1/12)(1/12)(1/12) di giro.[br][br]Come nel paradosso di Achille (la rapida lancetta dei minuti) e la tartaruga (la lenta lancetta[br]delle ore), la lancetta dei minuti nel tentativo di raggiungere quelle delle ore si trova a dover[br]compiere sempre un nuovo balzo che è 1/12 del precedente balzo in avanti.[br][br]Questo processo continua un numero infinito di volte, che però non corrisponde ad un[br]tempo infinito....[br][br]il tempo che lancetta dei minuti impiega a fare un giro è 1h. La lancetta dei minuti continua[br]a compiere 1/12 di 1/12 di 1/12 .... giro all'infinito volte... in formula ciò corrisponde ad un[br]numero infinito di addendi internamente alla parentesi tonda nella seguente formula:[br][br][math]tempo=1h+\frac{1}{12}h+\frac{1}{12}\left(\frac{1}{12}h\right)+\frac{1}{12}\left(\frac{1}{12}\left(\frac{1}{12}h\right)\right)+..adinfinitum...=[/math][br] [math]=\left(1+\frac{1}{12}+\frac{1}{12^2}+...\frac{1}{12^n}+..adinfinitum...\right)h[/math][br][br]per gli antichi greci, l'avere un numero infinito di addendi corrispondeva a non finire mai [br]cioè ad un tempo finito...[br][br]...ma noi oggi sappiamo che le cose non vanno sempre così tragicamente...[br][br]per una scomposizione fondamentale dell'algebra sappiamo che:[br][br][math]\left(1-\frac{1}{12^n}\right)=\left(1-\frac{1}{12}\right)\left(1+\frac{1}{12}+\frac{1}{12^2}+...+\frac{1}{12^n}\right)[/math][br][br]quindi banalmente per noi, ma non per gli antichi greci:[br][br][math]1+\frac{1}{12}+\frac{1}{12^2}+...+\frac{1}{12^n}=\frac{\left(1-\frac{1}{12^n}\right)}{1-\frac{1}{12}}[/math][br][br]se ora a sinistra dell'uguaglianza facciamo tendere n all'infinito otterremo lo stesso che fare[br]tendere n all'infinito nella parte destra dell'uguaglianza.[br][br]Penso sia intuitivo che se n tende all'infinito allora [math]\frac{1}{12^n}[/math] tenda a zero e che quindi la frazione[br]a destra tenda al valore [math]\frac{1}{1-\frac{1}{12}}=\frac{12}{11}[/math][br][br]sicché anche il termine di sinistra dell'uguaglianza, che interessa a noi, tenderà ad 12/11[br]quando n tende ad infinito.[br][br]Abbiamo cosi scoperto che la lancetta dei minuti impiega (12/11)h=1h 5m 27s per[br]riagguantare la dispettosa lancetta della ore ed essere di nuovo perfettamente[br]sovrapposta ad essa.[br][br]questo processo prescinde da quale istante sia fatta partire la gara.[br][br]Ogni successiva sovrapposizione avverrà dopo 1h 55m 27s dalla precedente.[br]Ad esempio, la seconda sovrapposizione sarà alle 2h 110m 54s ma ricordandoci che[br]il sistema di calcolo è sessagesimale 110m=60m+50m=1h 50m il risultato va scritto[br]correttamente: la seconda sovrapposizione avverrà alle ore 3h 50m 54s... e cosi via.[br] [br]verifica la validità dei calcoli usando l'app... (la parte più divertente...)