1ºESO. Cuerpos Geométricos y Volúmenes
Table of Contents
- Poliedros
- Estrellas y poliedros. Construye la tuya
- Sólidos Platónicos
- Fórmula de Euler y Poliedros "con agujeros"
- Escáner geométrico
- Volúmenes
- Volumen de la pirámide
- Volumen y superficie del cilindro y el cono
- Volumen de Cuerpos Básicos
- Volumen y superficie de la esfera
- Cubos y baldosas
- JUEGA CON LOS CUBOS
- Superficie de Cuerpos Básicos
- Volumen de cuerpos geométricos sencillos
- ¿Cuántos cubitos hay? (x5). Volumen
- Superficies de revolución
- Superficies de Revolución
- Superficies de revolución con desarrollo plano
- Cuerpos a partir de la revolución de un polígono regular
- Cuerpos de revolución
- Ampliación
- Volumen y Superficie de Cuerpos
- Área y volumen de un prisma
- Cavalieri's Principle (祖暅原理)
- Transformación Esfera-Cilindro-Cubo
- Teselación del espacio con el Octaedro Truncado
- Dodecaedro y endododecaedro (piroedro)
- Árbol de Navidad
- Cubos y Rampas
- Escaleras infinitas. Ilusión óptica
- Noperthedron
Estrellas y poliedros. Construye la tuya
Cómo crear nuestra figura
[list][*]Marcando las casillas, elige si quieres un prisma, una pirámide o una pirámide truncada. También, el número de puntas[br][/*][*]Con la casilla [i][color=#0000ff]Modificar[/color][/i] marcada, mueve los puntos para cambiar la altura de la figura, el lugar por donde truncamos o la forma de la estrella base.[/*][*]Marcando en [color=#a61c00][i]Piezas[/i][/color], se mostrarán cada una de las diferentes figuras que se necesitan imprimir.[br]Tendremos la vista preparada para capturar la pantalla -mejor en modo pantalla completa-[br]Después, puedes usa un procesador de textos para hacer una plantilla (como en el archivo que hay más abajo). [br][list][*]Según como vayamos a pegar (cinta adesiva, pegamento, silicona, etc.) puede que necesitemos o no, recortar un espacio extra que sirva de pestañas.[/*][*]Si no caben todas las caras en la pantalla, puedes usar el zoom o usar una sola cara y a partir de ella recortar las demás, con cuidado de no modificar las proporciones, para que la figura siga encajando.[/*][/list][/*][/list]
Ejemplos de plantillas para imprimir
¿Calculamos el volumen?
[list][*]Marcando [i]Longitudes[/i], podrás ver las medidas que necesitas para calcular el volumen de la figura.[/*][*]Recuerda que el volumen de un [b]prisma [/b]es [i]V=Base·altura[/i], y el de una [b]pirámide [/b]es [math]V=\frac{Base·altura}{3}[/math].[/*][*]Para un [b]tronco de pirámide[/b], lo más cómodo es restar a una pirámide grande, otra más pequeña (la punta).[br]Para calcular el volumen de la pirámide pequeña, podemos utilizar proporcionalidad geométrica. Para ello será necesario hallar primero la razón de proporcionalidad de la pirámide grande a la pequeña. [i]Indicación:[/i] usar los datos de las alturas.[br][/*][/list]
Volumen de la pirámide
Las tres pirámides tienen el mismo volumen y llenan el prisma de volumen V=Base·altura.[br]Así que el volumen de la pirámide es [math]\large{V=\frac{Base·altura}{3}}[/math].[br][list][*]Los puntos [b]blancos [/b]separan las pirámides.[/*][*]Los [b]azules [/b]para cambian sus dimensiones.[/*][*]Mueve el punto [b]amarillo [/b]para comprobar que la pirámide amarilla tiene el mismo volumen que las otras dos: [br]Por el principio de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Cavalieri]Cavalieri[/url], podemos ir cambiando la posición del vértice (siempre paralelo a la base). [br]Al desplazarlo del todo, obtenemos ya una pirámide igual a las otras.[br][/*][/list]
¿Lo comprobamos "a mano"?
[list][*]Construye una pirámide de papel, con la base que quieras.[/*][*]Construye un prisma con esa misma base y la altura de la pirámide.[/*][/list]Déjalos huecos para poder llenarlos de, por ejemplo, arroz.[list][*]Llena la pirámide de arroz (con esto medimos su volumen) y vierte el contenido en el prisma.[/*][*]Haciendo esto tres veces, ¡el prisma se llena![br][/*][/list]Por eso, el volumen de la pirámide es un tercio del prisma; hacen falta tres pirámides para llenar el prisma.
¿Qué ocurre si la base no es triangular, o tenemos un cono?
- Piensa que, realmente, cualquier polígono que podamos tener en la base puede descomponerse en triángulos, por lo que la pirámide se descompone en varias pirámides de base triangular, y la fórmula sigue siendo válida.[br]- Para un cono, la diferencia es que la base es un círculo. Pero no hay mucha diferencia entre un círculo y un polígono regular con "muchos lados". Si pensamos que la base es como un polígono regular de muchísimos lados, la fórmula también se sigue compliendo.
Superficies de Revolución
Al hacer girar una línea alrededor de un eje, se genera una superficie, que denominamos [b]superficie de revolución[/b].[br]Los casos más sencillos son [br][list][*]el de la línea recta, que si es paralela al eje genera un [b]cilindro[/b][/*][*]y si es oblicua, genera un tronco de [b]cono[/b].[/*][*]Si utilizamos una circunferencia, se obtiene una forma de "donut", que en matemáticas se denomina "[b]toro[/b]". [/*][*]Cuando se trata de media circunferencia pegada al eje, se obtiene una [b]esfera[/b].[/*][/list]Con la siguiente actividad podemos visualizar cómo se generan diferentes figuras. Elige el tipo de cuerpo en el desplegable. Puedes mover la vista 3D con el botón derecho del ratón, o con dos dedos en dispositivos móviles.
Buscando superficies de revolución en nuestro entorno
Seguro que a tu alrededor puedes encontrar muchos ejemplos de superficies de revolución.[br]Por ejemplo, una botella, un bote, un sombrero...[br]¿Y si hacemos una pequeña recopilación de objetos o de sus fotografías?[br]Aquí te dejamos una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Amanita_muscaria]amanita muscarea[/url] (no comestible).
El reto
Como reto, te proponemos [br][list][*]usar la opción "varios segmentos" en el applet anterior para hacer tu propio diseño de una seta.[br]Desmarca la casilla "animación" para trabajar con más tranquilidad. [/*][*]En la aplicación GeoGebra, utiliza [br][list][*]el comando [url=https://geogebra.github.io/docs/manual/es/commands/Superficie/]Superficie( )[/url] para crear por una parte el [b]sombrero [/b]de una seta (y darle cierto color). [/*][*]y luego otra superficie de revolución para el [b]pie[/b].[/*][*]Si quieres, añade una pequeña superficie para el [b]anillo[/b]. [/*][/list]En este caso, no incluiremos [b]escamas[/b] encima del sombrero.[/*][*]Como la seta normalmente es achatada, nos será más cómodo hacer la generatriz del sombrero a partir de varios segmentos o bien con el comando [url=https://geogebra.github.io/docs/manual/es/commands/ArcoTresPuntos/]ArcoTresPuntos( )[/url], que genera un arco de circunferencia que pasa por los tres puntos que elijas.[/*][/list]
Volumen y Superficie de Cuerpos
Instrucciones
[list][*]Visualiza diferentes ejemplos de cuerpos geométricos.[/*][*]Podemos girar la vista 3D arrastrando con el botón derecho del ratón (o en tablets, usando dos dedos).[/*][*]Pulsando en los botones con forma de signos + y - podemos hacer zoom en la vista 3D.[br][/*][*]Podrás elegir el tipo de cuerpo, y generar diferentes ejemplos pulsando el botón "Otro ejemplo".[/*][*]Se mostrará el volumen total del cuerpo.[br][br][/*][*]Presta atención porque al cortar un cilindro o un cono, aparecen caras planas (en la zona donde cortamos). [br][/*][/list]
Ejercicios
[list][*]Pulsando en "Ejercicios" podremos resolver nuestros propios ejercicios.[/*][*]Los diferentes cálculos que puedes hacer se valoran por separado (área, volumen o longitud desconocida), hasta un máximo de 4 puntos cada uno.[br]Los fallos no penalizan.[/*][*]La puntuación máxima es [b]10 puntos[/b]. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[br][/*][*]Se permiten pequeños errores de redondeo.[br][/*][/list][br]