円の不思議

Bunryu Kamimura, May 27, 2016

円に関する定理を集めてみた。五角形と円、六角形と円・・・ ここには何か関連がありそう。４点以上が円周上にあることの不思議。 ・・・ やってみてわかってきたこと (1)二つの円で偶数個の円を描くとぴったり一致すること (2)偶数個の円の中心は楕円の外接多角形であること (3)その楕円の焦点を中心とする円が最初の二つの円であること 詳しくは [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/miquel.html[/url]へ

Table of Contents

  1. 円と四角形
    1. Miquelの定理
    2. ミケルの定理（円の中心）
    3. ミケルの四角形をポンスレで求める
    4. ミケルの定理（四角形）を楕円から作成
    5. Miquelの定理（三角形）
    6. Miquelの定理（四角形）
    7. Miquelの定理（二円）
    8. ミケル点で４つの円
    9. スタイナー・ミケルの図形
    10. ミケル・スタイナー点
    11. 内接四角形と外接四角形
    12. 円に外接する四角形
    13. 四角形に内接する楕円の作図
    14. クーリッジの定理
    15. 内接四角形と外接四角形
    16. Refl_Verts_Locus
  2. 円と六角形
    1. ミケルの定理の逆（直線）
    2. ミケルの定理（直線と円）
    3. ミケルの定理（偶数の場合）
    4. ６円の中心が外接六角形ならば六点は同一円周上にある。
    5. 六円六角形
    6. ブリアンションの定理１
    7. パスカルの６角形
    8. 楕円の外接六角形！
    9. ミケルの定理の逆
    10. 双曲線におけるブリアンションの定理
    11. 双曲線におけるミケルの定理
    12. ミケルの定理（円錐曲線）
    13. Eight circles problem
  3. 円と五角形
    1. ミケルの定理
    2. 高田の定理
    3. ミケルとタカダ
    4. ミケルの定理その２
    5. 外接五角形
    6. 楕円の外接五角形
    7. 二つの円の間の楕円
    8. タカダの定理と楕円
    9. 七角形の作図
    10. ミケルの定理（五角形）
    11. 五角形に内接する楕円の接点の求め方
    12. Ｎewtonの定理
  4. 円に関するいろいろな定理
    1. P点
    2. ジョンソンの定理
    3. スタイナー点とスタイナー円
    4. Miguel's van Schooter Like
  5. 拡張のし方
    1. Congruent Segment Surprise
    2. d⊥c⇒l⊥m
    3. 交わる二つの円に関する性質

1.

円と四角形

ミケルの定理はいくつかあるが、どれも関連している。 まずは円と三角形や四角形の関係を調べてみよう。 ポイントは内接四角形の定理。

  • 1. Miquelの定理
  • 2. ミケルの定理（円の中心）
  • 3. ミケルの四角形をポンスレで求める
  • 4. ミケルの定理（四角形）を楕円から作成
  • 5. Miquelの定理（三角形）
  • 6. Miquelの定理（四角形）
  • 7. Miquelの定理（二円）
  • 8. ミケル点で４つの円
  • 9. スタイナー・ミケルの図形
  • 10. ミケル・スタイナー点
  • 11. 内接四角形と外接四角形
  • 12. 円に外接する四角形
  • 13. 四角形に内接する楕円の作図
  • 14. クーリッジの定理
  • 15. 内接四角形と外接四角形
  • 16. Refl_Verts_Locus

1.1.

Miquelの定理

点線の４円の中心が作る四角形は外接四角形である。その中心は？　では、内接する四角形を五角形にしたらどうなるのだろうか？
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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1.10.

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1.11.

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1.12.

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1.13.

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1.14.

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1.15.

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1.16.

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2.

円と六角形

四角形に関するミケルの定理は偶数の円に拡張できる。 ここでは、円の中心を求めてその六角形がどのようなモノなのかを探り、その６角形から逆に同一円周上にある６点を求めてみる。つまり、同値条件を探ってみる。 わかってきたことは、６円の中心が作る六角形は楕円の外接六角形ということ。さらに、交点の作る二つの円の中心はその楕円の２つの焦点であること。

  • 1. ミケルの定理の逆（直線）
  • 2. ミケルの定理（直線と円）
  • 3. ミケルの定理（偶数の場合）
  • 4. ６円の中心が外接六角形ならば六点は同一円周上にある。
  • 5. 六円六角形
  • 6. ブリアンションの定理１
  • 7. パスカルの６角形
  • 8. 楕円の外接六角形！
  • 9. ミケルの定理の逆
  • 10. 双曲線におけるブリアンションの定理
  • 11. 双曲線におけるミケルの定理
  • 12. ミケルの定理（円錐曲線）
  • 13. Eight circles problem

2.1.

ミケルの定理の逆（直線）

円が偶数個だと・・・
黒の三円を作るとＡＩＢＤは同一円周上(赤円）にある。証明は簡単。そして、なぜ円の個数が偶数でなければならないのかもわかる。この直線が円になっても同じ。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

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2.13.

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3.

円と五角形

このブックの出発点。 最初に高田の定理を知り、 そしてミケルの定理を知ったことから始まった。 四角形のミケルの定理を５角形に拡張できないか？ 星型５角形と楕円との関係は？

  • 1. ミケルの定理
  • 2. 高田の定理
  • 3. ミケルとタカダ
  • 4. ミケルの定理その２
  • 5. 外接五角形
  • 6. 楕円の外接五角形
  • 7. 二つの円の間の楕円
  • 8. タカダの定理と楕円
  • 9. 七角形の作図
  • 10. ミケルの定理（五角形）
  • 11. 五角形に内接する楕円の接点の求め方
  • 12. Ｎewtonの定理

3.1.

ミケルの定理

１８３８ミケル[br]５点が同一円周上にある。
ナビゲーションバーをクリックして作図のし方を知ろう。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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3.11.

–

3.12.

–

4.

円に関するいろいろな定理

円と三角形を組み合わせると、不思議な世界が広がってくる。 これらの定理はどういうことから見つかったのだろうか？

  • 1. P点
  • 2. ジョンソンの定理
  • 3. スタイナー点とスタイナー円
  • 4. Miguel's van Schooter Like

4.1.

P点

小さな二つの円の接線の交点をP点という。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

拡張のし方

ジオジェブラを見ていたら、このシートが気になった。 円と円が交わる角度を問題にしたものだ。 へーこんな性質があるんだと思って、いろいろ試しているうちに、拡張できることに気がついた。 その試み。

  • 1. Congruent Segment Surprise
  • 2. d⊥c⇒l⊥m
  • 3. 交わる二つの円に関する性質

5.1.

Congruent Segment Surprise

Given two semi-circles inscribed in a square,[br]construct two segments, and connect their respective intersections, as shown.
Show that the Red and Blue segments are congruent and perpendicular.
– Ted Courant

5.2.

–

5.3.

–

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