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Die Hyperbelfunktionen
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1. Definition
- Definition der Hyperbelfunktionen
- Analogie
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2. Folgerungen
- Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
- Additionstheoreme
- Ableitungen und Differentialgleichungen
- Grundintegrale
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3. Anwendungen
- Kettenlinie
- senkrechter Wurf mit Luftwiderstand
- Die Hundekurve
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Die Hyperbelfunktionen
Horst-Armin Kosog, Jul 25, 2015
Überblick über die Hyperbelfunktionen und ihre Eigenschaften im Vergleich mit den goniometrischen Funktionen
Table of Contents
- Definition
- Definition der Hyperbelfunktionen
- Analogie
- Folgerungen
- Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
- Additionstheoreme
- Ableitungen und Differentialgleichungen
- Grundintegrale
- Anwendungen
- Kettenlinie
- senkrechter Wurf mit Luftwiderstand
- Die Hundekurve
Definition der Hyperbelfunktionen
Definitionsgleichungen:
sinhyp(x)=
coshyp(x)=
tanhyp(x)=
Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
Anders als bei den Winkelfunktionen lassen sich die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen durch elementare Funktionen ausdrücken: Zur Herleitung wird nach dem Austauschen von x und y der Term z = ey substituiert, wodurch eine quadratische Gleichung für z entsteht. (Für die coshyp-Funktion ist die Definitionsmenge einzuschränken!) Dann gilt: arsinh(x) =
arcosh(x) = artanh(x)=Areafunktionen
Kettenlinie
Die Coshyp-funktion selbst hat den Namen Kettenlinie.
Der Kraftansatz für die Kräfte in der hängenden "Kette" führt auf die Differentialgleichung 2.Ordnung
die nur eine Differentialgleichung 1. Ordnung für y' ist und als Lösung y'(x) = sinhyp(x) besitzt.
Die Integration führt auf y = coshyp(x), wobei zwei Integrationskonstante einzuführen sind,
über die die Funktion an Anfangsbedingungen: zwei Aufhängepunkte oder Breite und Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten angepasst werden kann.
Kettenlinie
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