Die Hyperbelfunktionen
Überblick über die Hyperbelfunktionen und ihre Eigenschaften im Vergleich mit den goniometrischen Funktionen
Table of Contents
- Definition
- Definition der Hyperbelfunktionen
- Analogie
- Folgerungen
- Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
- Additionstheoreme
- Ableitungen und Differentialgleichungen
- Grundintegrale
- Anwendungen
- Kettenlinie
- senkrechter Wurf mit Luftwiderstand
- Die Hundekurve
Definition der Hyperbelfunktionen
Definitionsgleichungen:
sinhyp(x)= [math]\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/math][br]coshyp(x)= [math]\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math][br]tanhyp(x)=[math]\frac{sinhyp(x)}{coshyp(x)}[/math]
Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen
[justify]Anders als bei den Winkelfunktionen lassen sich die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen durch elementare Funktionen ausdrücken: [br][br]Zur Herleitung wird nach dem Austauschen von x und y der Term z = e[sup]y[/sup] substituiert, wodurch eine quadratische Gleichung für z entsteht.[br][br](Für die coshyp-Funktion ist die Definitionsmenge einzuschränken!)[br]Dann gilt:[br][br]arsinh(x) = [math]ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)[/math][/justify]arcosh(x) =[math]ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)[/math][br]artanh(x)=[math]ln\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)[/math]
Areafunktionen
Kettenlinie
Die Coshyp-funktion selbst hat den Namen Kettenlinie.[br]Der Kraftansatz für die Kräfte in der hängenden "Kette" führt auf die Differentialgleichung 2.Ordnung [math]y''=\left(1-y'^2\right)[/math][br][br]die nur eine Differentialgleichung 1. Ordnung für y' ist und als Lösung y'(x) = sinhyp(x) besitzt.[br]Die Integration führt auf y = coshyp(x), wobei zwei Integrationskonstante einzuführen sind,[br]über die die Funktion an Anfangsbedingungen: zwei Aufhängepunkte oder Breite und Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten angepasst werden kann.