Manchmal ist es nützlich und notwendig die in diesem Kapitel vorgestellten Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen (Ablesen, Ausklammern, Substituieren) zu kombinieren.[br]Dieses wird an den nachfolgenden Beispielen veranschaulicht.

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion [math]f\left(x\right)=x^5-4x^3-5x[/math].[br][br]1. jeder Summand enthält ein x. Dieses x kann also [b]ausgeklammert [/b]werden:[br] [math]f\left(x\right)=x\left(x^4-4x^2-5\right)[/math][br] das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren (also [math]x[/math] oder [math]x^4-4x^2-5[/math]) null ist. Wir erhalten somit die erste NST [math]x_1=0[/math].[br]2. es muss weiter untersucht werden, wann der zweite Faktor ([math]x^4-4x^2-5[/math]) null wird.[br] hier wird das Verfahren der [b]Substitution [/b]angewendet:[br]  setze [math]x^2=z[/math][br]  [math]g\left(z\right)=z^2-4z-5=0[/math][br] die pq-Formel liefert: [math]z_{1,2}=\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{4}{2}\right)^2+5}=2\pm3[/math] [br] [math]z_1=5,z_2=-1[/math][br]Rücksubstituieren ([math]z_1=x^2[/math]bzw. [math]z_2=x^2[/math]) liefert:[br]  [math]x^2=z_1\Leftrightarrow x^2=5\Rightarrow x_{2,3}=\pm\sqrt{5}[/math][br]  [math]x^2=z_2\Leftrightarrow x^2=-1\Rightarrow x^2=-1[/math]hat keine Lösung, da [math]x^2\ge0[/math] für alle x.[br][br]Die Funktion f(x) hat entsprechend insgesamt die folgenden NST: [br][math]x_1=0,x_2=\sqrt{5},x_3=-\sqrt{5}[/math][br]

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion [math]g\left(x\right)=\left(x^3-4x^2+4x\right)\left(2x-3\right)[/math].[br][br]1. das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren (also [math]\left(x^3-4x^2+4x\right)[/math] oder [math]\left(2x-3\right)[/math] null ist. Wir erhalten somit durch [b]ablesen[/b] die erste NST [math]x_1=\frac{3}{2}[/math]. (da (2x-3) = 0 für [math]x_1=\frac{3}{2}[/math])[br]2. der Faktor [math]\left(x^3-4x^2+4x\right)[/math] enthält in jedem Summanden ein x.[br] durch [b]ausklammern [/b]erhält man somit: [math]x\left(x^24x+4\right)=0[/math]. Wir erhalten daher die zweite NST [math]x_2=0[/math] .[br]3. [math]x^2-4x+4=0[/math] kann mit der [b]pq-Forme[/b]l gelöst werden:[br] [math]x_3=\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{4}{2}\right)^2-4}=2\pm0=2[/math][br] die dritte NST ist somit [math]x_3=2[/math].[br][br][br] Die Funktion f(x) hat entsprechend insgesamt die folgenden NST: [br][math]x_1=\frac{3}{2},x_2=0,x_3=2[/math]