4.2. Domínio, contradomínio e imagem de uma função
[b][size=150][justify]A lei de formação que intitula uma determinada função, possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. [b][size=150]Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas, como mostra a imagem a seguir:[br][/size][/b][/justify][/size][/b]
Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas:
Nessa situação, temos que:
[size=150][b][i]Domínio[/i][/b]: representado por todos os elementos do conjunto A.[br](1, 2, 3, 4, 5)[br][br][b][i]Contradomínio[/i][/b]: representado por todos os elementos do conjunto B.[br](1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)[br][br][b][i]Imagem[/i][/b]: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A). (2, 3, 4, 5, 6)[/size]
[b][justify][size=150]O domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x [img width=10,height=10]https://www.somatematica.com.br/emedio/funcoes/pertence.gif[/img] A estiver associado a um elemento y [img width=10,height=10]https://www.somatematica.com.br/emedio/funcoes/pertence.gif[/img] B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).[/size][/justify][/b]
Observe o domínio e a imagem na função abaixo.
[b][size=150][color=#ff0000]O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou não uma função. Observe:[/color][/size][/b]
Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função.
Restam elementos no conjunto domínio, que não foram associados ao conjunto imagem.
Um único elemento do domínio não deve possuir duas imagens.
[size=150][b][i]Outro exemplo:[/i][/b][/size]
Marcela foi comprar bombons na confeitaria. Cada bombom custa R$1,80. A quantia que ela pagará ( y) será função do número de bombons que levar (x), pois, para cada quantidade de bombons, há um único preço a ser cobrado.
[size=150][justify]Os valores de x para essa função são números naturais. Não se compra 2,3 bombons.[br]Dizemos que o [b]domínio[/b] dessa função é o [b]conjunto dos números naturais. [/b][br]Nessa função, x pode ser qualquer número natural, mas x não pode ser uma fração ou número[br]negativo.[br]Observando a tabela, vemos que quando x = 3, temos y = 5,40. Diremos que 5,40 é a [b]imagem [/b]de 3 por esta função.[/justify][/size]
Ariel pensou em uma função que associa um número x ao seu dobro y (y = 2x).
[size=150][justify]Existe algum número que não possui dobro? [br]Não, então nessa função, x pode ser qualquer número real, pois é sempre possível calcular o dobro de um número. [br]Diremos, então, que o [b]domínio da função[/b] pensada pelo Ariel é [math]\mathbb{R}[/math].[/justify][/size]
[size=150][justify]No entanto, se a função associasse, por exemplo, cada número x ao seu inverso y (y = [math]\frac{1}{x}[/math]), teríamos de excluir do domínio [math]\mathbb{R}[/math] o número zero, pois zero é o único número real que não possui inverso.[/justify][/size]
[size=150][justify]Em geral, quando não se explicita qual é o domínio de uma função, consideramos o domínio como [math]\mathbb{R}[/math], tomando o cuidado de excluir, se necessário, números para os quais não exista y correspondente a ele pela função.[/justify][/size]