Cálculo II

Patrícia Sánez P., Apr 15, 2019

[b]Créditos:[/b] André Franzoi Zaleski, aluno bolsista. [b]Créditos ao Edital 48/2020 - DIRGRAD:[/b] “Recurso Educacional Aberto produzido com o fomento do Programa de Apoio ao Desenvolvimento de Recursos Educacionais Abertos da UTFPR - Campus Curitiba (PRADREA-CT) na Graduação e no Ensino Técnico de Nível Médio”;

Table of Contents

  1. Introdução.
    1. Introdução
  2. Quádricas
    1. Quádricas
  3. Topologia em Rn
    1. O espaço Rn
    2. Distância (ou métrica)
    3. Exemplo: Distância em X=C[a,b]
    4. Exemplo: Distância em X=Rn
    5. Norma
    6. Produto Interno
    7. Bolas Abertas
    8. Bolas Abertas em R3
    9. Pontos interiores. Conjuntos Abertos e Fechados.
    10. Conjuntos nem abertos nem fechados
    11. Pontos de Acumulação
    12. Pontos de Fronteira
    13. Conjuntos Conexos
    14. Conjuntos Convexos.
    15. Conjuntos Limitados
    16. Conjuntos Compactos
  4. Curvas Paramêtricas
    1. Funções Vetoriais,
    2. Curvas paramêtricas.
    3. Reta
    4. Elipse
    5. Hélice
    6. Espiral
    7. Ciclóide
    8. Interseção de Plano e Cilindro.
    9. Interseção: Paraboloide e plano
    10. Derivada de uma função vetorial.
    11. Vetor Tangente à uma curva
    12. Curva simples fechada
    13. Curva "não-simples" fechada
    14. Curva positivamente orientada
    15. Comprimento de arco
    16. Triedro de Frenet
    17. Integral de uma função vetorial
  5. Funções de várias variáveis.
    1. Funções (Domínio, Gráfico, Imagem)
    2. Curvas de Nível
    3. Superfícies de nível
    4. Limite
    5. Funções Contínuas.
    6. Regra dos caminhos
  6. Derivadas Parciais,
    1. Derivada Parcial
    2. Derivadas Parciais de 2da ordem
    3. Plano Tangente e Aproximação Linear.
    4. Diferenciais (unidimensional)
    5. Diferenciais (bidimensional)
    6. Derivada Direccional
    7. Máximos e mínimos - Definição.
    8. Máximos e mínimos de funções quadráticas
    9. Máximos e mínimos - Teste da 2da Derivada
    10. Máximos e mínimos em compactos.
    11. Multiplicadores de Lagrange 01
    12. Multiplicadores de Lagrange 02
  7. Integrais Múltiplas.
    1. Somas de Riemman
    2. Integral dupla
    3. Propriedades das Integrais sobre retângulos.
    4. Integrais Iteradas e Teorema de Fubini.
    5. Regiões do tipo I e II
    6. Regiões mais Gerais - Exemplos
    7. Coordenadas Polares
    8. Curvas descritas em coordenadas polares.
    9. Regiões descritas em polares
    10. Integrais duplas em retângulos polares
    11. Integrais em regiões descritas em coord. polares
    12. Mudança de Coordenadas
    13. Mudança de coordenadas - Integrais duplas
    14. Integrais Triplas em Paralelepípedos
    15. Integrais Triplas em regiões mais gerais.
    16. Coord. Cilíndricas-Sólidos.
    17. Coord. Cilíndricas- Integrais
    18. Coord. Esféricas-Sólidos
    19. Coord. Esféricas-Integrais
    20. Exemplos
  8. Bibliografia
    1. Bibliografia

1.

Introdução.

[color=#1551b5][color=#1551b5] Estas notas pretendem fornecer de forma rápida e visual, conceitos do Cálculo Diferencial e Integral de várias variáveis. Ele está em constante construção. [/color]

  • 1. Introdução

1.1.

Introdução

[color=#1551b5]Estas notas pretendem fornecer de forma rápida e visual, conceitos clássicos do Cálculo Diferencial e Integral de várias variáveis, de forma que sirva de apoio para a compreensão deste e foram produzidas graças ao Edital 48/2020: “Recurso Educacional Aberto produzido com o fomento do Programa de Apoio ao Desenvolvimento de Recursos Educacionais Abertos da UTFPR - Campus Curitiba (PRADREA-CT) na Graduação e no Ensino Técnico de Nível Médio” .[br][br][br][/color]
Interseção de um cilindro e um plano.
– Patrícia Sánez P.

2.

Quádricas

  • 1. Quádricas

2.1.

Quádricas

Hiperboloide de 2 folhas.
[math]\frac{x^2}{4}+y^2-\frac{z^2}{9}=-1[/math]
Cone
[math]\frac{x^2}{4}+y^2=\frac{z^2}{9}[/math]
Paraboloide Elíptico
[math]\frac{x^2}{4}+y^2-\frac{z}{9}=0[/math]
Hiperboloide de uma folha.
[math]\frac{x^2}{4}+y^2-\frac{z^2}{9}=0[/math]
Hiperboloide de uma folha.
[math]\frac{x^2}{4}+y^2-\frac{z^2}{9}=0[/math]
Paraboloide Hiperbólico.
[math]\frac{9x^2}{4}-9y^2=z[/math]
Paraboloide Hiperbólico.
[math]\frac{9x^2}{4}-9y^2=z[/math]
Elipsoide
[math]\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}=1[/math]adfa
Elipsoide
[math]\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}=1[/math]adfa
– André Franzoi, Patrícia Sánez P.

3.

Topologia em Rn

  • 1. O espaço Rn
  • 2. Distância (ou métrica)
  • 3. Exemplo: Distância em X=C[a,b]
  • 4. Exemplo: Distância em X=Rn
  • 5. Norma
  • 6. Produto Interno
  • 7. Bolas Abertas
  • 8. Bolas Abertas em R3
  • 9. Pontos interiores. Conjuntos Abertos e Fechados.
  • 10. Conjuntos nem abertos nem fechados
  • 11. Pontos de Acumulação
  • 12. Pontos de Fronteira
  • 13. Conjuntos Conexos
  • 14. Conjuntos Convexos.
  • 15. Conjuntos Limitados
  • 16. Conjuntos Compactos

3.1.

O espaço Rn

Para n=1
Para n=2.
Para n=3
– André Franzoi, Patrícia Sánez P.

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

3.16.

–

4.

Curvas Paramêtricas

  • 1. Funções Vetoriais,
  • 2. Curvas paramêtricas.
  • 3. Reta
  • 4. Elipse
  • 5. Hélice
  • 6. Espiral
  • 7. Ciclóide
  • 8. Interseção de Plano e Cilindro.
  • 9. Interseção: Paraboloide e plano
  • 10. Derivada de uma função vetorial.
  • 11. Vetor Tangente à uma curva
  • 12. Curva simples fechada
  • 13. Curva "não-simples" fechada
  • 14. Curva positivamente orientada
  • 15. Comprimento de arco
  • 16. Triedro de Frenet
  • 17. Integral de uma função vetorial

4.1.

Funções Vetoriais,

Limites
Propriedades
Continuidade
– André Franzoi, Patrícia Sánez P.

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

4.16.

–

4.17.

–

5.

Funções de várias variáveis.

  • 1. Funções (Domínio, Gráfico, Imagem)
  • 2. Curvas de Nível
  • 3. Superfícies de nível
  • 4. Limite
  • 5. Funções Contínuas.
  • 6. Regra dos caminhos

5.1.

Funções (Domínio, Gráfico, Imagem)

Exemplo 01: Dominio de uma função
Exemplo 02: Dominio e gráfico.
Exemplo
– André Franzoi, Patrícia Sánez P.

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

6.

Derivadas Parciais,

Derivada Direcional, Máximos e Minimos

  • 1. Derivada Parcial
  • 2. Derivadas Parciais de 2da ordem
  • 3. Plano Tangente e Aproximação Linear.
  • 4. Diferenciais (unidimensional)
  • 5. Diferenciais (bidimensional)
  • 6. Derivada Direccional
  • 7. Máximos e mínimos - Definição.
  • 8. Máximos e mínimos de funções quadráticas
  • 9. Máximos e mínimos - Teste da 2da Derivada
  • 10. Máximos e mínimos em compactos.
  • 11. Multiplicadores de Lagrange 01
  • 12. Multiplicadores de Lagrange 02

6.1.

Derivada Parcial

– Patrícia Sánez P.

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

6.9.

–

6.10.

–

6.11.

–

6.12.

–

7.

Integrais Múltiplas.

Duplas. Mudanca de coordenadas.

  • 1. Somas de Riemman
  • 2. Integral dupla
  • 3. Propriedades das Integrais sobre retângulos.
  • 4. Integrais Iteradas e Teorema de Fubini.
  • 5. Regiões do tipo I e II
  • 6. Regiões mais Gerais - Exemplos
  • 7. Coordenadas Polares
  • 8. Curvas descritas em coordenadas polares.
  • 9. Regiões descritas em polares
  • 10. Integrais duplas em retângulos polares
  • 11. Integrais em regiões descritas em coord. polares
  • 12. Mudança de Coordenadas
  • 13. Mudança de coordenadas - Integrais duplas
  • 14. Integrais Triplas em Paralelepípedos
  • 15. Integrais Triplas em regiões mais gerais.
  • 16. Coord. Cilíndricas-Sólidos.
  • 17. Coord. Cilíndricas- Integrais
  • 18. Coord. Esféricas-Sólidos
  • 19. Coord. Esféricas-Integrais
  • 20. Exemplos

7.1.

Somas de Riemman

– Patrícia Sánez P.

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

7.11.

–

7.12.

–

7.13.

–

7.14.

–

7.15.

–

7.16.

–

7.17.

–

7.18.

–

7.19.

–

7.20.

–

8.

Bibliografia

  • 1. Bibliografia

8.1.

Bibliografia

– Patrícia Sánez P.

Information