Abstand Punkt - Ebene (HNF)

Gegeben ist eine Ebene und ein Punkt P. Ausserdem ist ein beliebiger Punkt R auf der Ebene eingezeichnet.[br]Mit Hilfe der beiden Punkte R und P sowie der Ebenengleichung soll der Abstand von P zur Ebene berechnet werden.

Aufgabe 1

Lassen Sie sich die Koordinaten des Punktes R anzeigen und berechnen Sie die Komponenten des Vektors [math]$\overrightarrow{RP}$[/math].[br]Geben Sie auch die Komponenten des Normalvektors an.

Aufgabe 2

Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene kann mit Hilfe des Skalarproduktes berechnet werden.[br]Notieren Sie die allgemeine Formel zur Berechnung des Skalarprodukts und zeichnen Sie eine geeignete Skizze. [br]Unter welchen Bedingungen entspricht das Skalarprodukt genau dem gesuchten Abstand d?

Aufgabe 3

Berechnen Sie die Komponenten des Einheitsnormalvektors der Ebene und berechnen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts den Abstand.

Aufgabe 4

Notieren Sie sich die Hesse-Normalform der Ebenengleichung (Normalform der Ebenengleichung mit dem Einheitsnormalvektor).

Aufgabe 5

Multiplizieren Sie das Skalarprodukt aus. Was erkennen Sie?

Aufgabe 6

In der Normalform gibt es den Vektor [math]$\left(\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\1\\5\end{array}\right)\right)$[/math]. Der hintere Vektor ist ein Ortsvektor (hier ein Vektor zum Punkt R). Der vordere Vektor ist ein Ortsvektor zu einem Punkt auf der Ebene. Wenn wir aber hier nicht den Punkt der Ebene, sondern P einsetzen, dann erhalten wir was?

Aufgabe 7

Wir haben oben gezeigt, dass man mit [math]$\frac{\vec{n}}{n}\bullet\overrightarrow{RP}=d$[/math] den Abstand [math]$d$[/math] berechnen kann. [br]Notieren Sie diese Formel nun mit Hilfe der Koordinatenform unter Einbezug der oben festgestellten Identitäten.[br]Beachten Sie dabei auch, dass das Skalarprodukt negative Zahlen ergeben kann, Abstände aber immer positiv angegeben werden.

Aufgabe 8

Berechnen Sie nun den Abstand des Punktes P noch einmal mit der oben gefundenen Formel.

Aufgabe 9

Verändern Sie nun die Ebenengleichung ("Ebene verschieben") und berechnen Sie den Abstand des Punktes P zu dieser neuen Ebene mit Hilfe der gefundenen Formel.[br][size=85]Hinweis: Indem Sie auf einen Punkt klicken, können Sie diesen entweder in der vertikalen oder auf der Horizontalebene verschieben.[/size]