[list][*]Construeer een kubus.[/*][*]Construeer binnen de kubus een ingeschreven cilinder.[/*][*]Construeer in de kubus een schuin snijvlak door een van de zijden van de kubus en de evenwijdige aan deze zijde die het tegenoverliggende vlak doormidden snijdt.[/*][*]Dit vlak snijdt een stuk van de cilinder af (= cilindersegment). [/*][*]Vraag: Hoe groot is dit cilindersegment t.o.v. de kubus?[/*][/list]Net zoals bij de berekening van ene paraboolsegment werkt Archimedes met een versleepbaar segment en veralgemeent hij via evenredigheden, maar deze keer komt hij uit op een evenredigheid van volumes.[br]Klik in het applet op het aanvinkvakje [i][b]driehoeken[/b][/i] en volg onderaan in de tekst de de ongelooflijk inventieve redenering van Archimedes.[br]Je kan het 3D venster draaien en de constructie langs alle kanten bekijken.

[size=150]3D-venster[/size][br]Het snijvlak snijdt van de kubus een driehoekig prisma af en bepaalt een parabool als snijlijn met de cilinder. Bij het aanklikken van het aanvinkvakje [i]driehoeken [/i]worden in het 3D-venster van kubus en cilinder enkel nog het prisma en de parabool getoond. Daarnaast verschijnen twee driehoeken die je kan verschuiven door in het 2D tekenvenster de schuifknop te verslepen: [br][list][*]De [color=#0000ff][b]blauwe driehoek ABC[/b][/color] is een verschuiving van het driehoekig zijvlak van het prisma.[/*][*]Deze driehoek snijdt de parabool in het punt [b][color=#9900ff]P[/color][/b]. Hiermee creëer je de [color=#6aa84f][b]groene driehoek ADP[/b][/color].[/*][/list][size=150]2D tekenvenster[/size][br]In het 2D tekenvenster worden twee aanzichten getoond:[list][*]links staat het bovenaanzicht waarin de van de driehoeken enkel de zijden [color=#0000ff][b][AB][/b][/color] en [b][color=#6aa84f][AD][/color][/b] ziet.[/*][*]rechts zie je de twee driehoeken [color=#0000ff][b]ABC[/b][/color] en [b][color=#6aa84f]ADP[/color][/b] in zijaanzicht.[/*][/list][size=150]parabool: [size=100]Klik in het applet op het aanvinkvakje parabool.[/size][/size][br]In het grondvlak tekent Archimedes een [color=#ff0000]parabool[/color]. Het lijnstuk [b][color=#0000ff][AB][/color][/b] snijdt deze parabool in het punt [b]E[/b].

[list][*]Archimedes stelt vast dat voor elke doorsnede de driehoeken [color=#0000ff][b]ABC[/b][/color] en [color=#6aa84f][b]ADP[/b][/color] zich verhouden als de lijnstukken [b][color=#0000ff][AB][/color][/b] en[color=#6aa84f][b] [AE][/b][/color]: [math]\frac{\Delta ABC}{\Delta ADP}=\frac{\left|AB\right|}{\left|AE\right|}[/math] en een berekening in het applet bevestigt dit.[br][/*][*]Daarom vertaalt hij deze bewering naar de objecten waarvan de doorsneden werden genomen:[br][math]\frac{prisma}{cilindersegment}=\frac{rechthoek}{parabool}[/math] of omgekeerd [math]\frac{cilindersegment}{prisma}=\frac{parabool}{rechthoek}[/math][/*][*]De verhouding [math]\frac{parabool}{rechthoek}[/math] berekenden we al eerder als [math]\frac{2}{3}[/math].[/*][*]Gevolg: [math]cilindersegment=\frac{parabool}{rechthoek}.prisma=\frac{2}{3}.prisma[/math].[/*][*]Het prisma is de helft van de halve kubus of dus [math]\frac{1}{4}kubus[/math].[/*][*]Het cilindersegment is dus [math]\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}kubus=\frac{1}{6}kubus[/math][br][/*][/list][b][color=#0000ff]Het cilindersegment is 1/6 van de kubus.[/color][/b]