[size=150][math][br]a=\left(\begin{array}-7\\13\end{array}\right), \ \ b=\left(\begin{array} 2\\-5\end{array}\right)\\[br]c=3\cdot\left(2\cdot a+b\right)-2\cdot\left(3\cdot a-b\right)[br][/math][br]Berechne [i]c[/i] durch Einsetzen von [i]a[/i] und [i]b[/i]. [/size]
[br](Im Folgenden wird der Malpunkt weggelassen.)[br][math] c=3\left[2\left(\begin{array}-7\\13\end{array}\right)+\left(\begin{array}2\\-5\end{array}\right)\right][br]-2\left[3\left(\begin{array}-7\\13\end{array}\right)-\left(\begin{array}2\\-5\end{array}\right)\right]\\[br]\ \ =3\left[\left(\begin{array}-14\\26\end{array}\right)+\left(\begin{array}2\\-5\end{array}\right)\right][br]-2\left[\left(\begin{array}-21\\39\end{array}\right)-\left(\begin{array}2\\-5\end{array}\right)\right]\\[br]\ \ =3\left(\begin{array}-12\\21\end{array}\right)-2\left(\begin{array} -23\\44\end{array}\right)=[br]\left(\begin{array}-36\\63\end{array}\right)-\left(\begin{array}-46\\88\end{array}\right)=\bf \left(\begin{array}10\\-25\end{array}\right)[br][br][/math]
[size=150]Vereinfache zuerst den Term für [i]c[/i] aus Aufgabe 1a.[br]Setze dann [i]a[/i] und [i]b[/i] ein. Vergleiche die Ergebnisse. [/size]
[br][math][br]c=6a+3b-6a+2b=5b\\[br]c=5\left(\begin{array} 2\\-5\end{array}\right)=\bf \left(\begin{array} 10\\-25\end{array}\right)[br][/math][br]Gleiches Ergebnis wie in Aufgabe 1a.
Ja, wenn im [math]\mathbb{R}^n[/math] die gleichen Rechengesetze wie in [math]\mathbb{R}[/math] gelten.[br]Im Folgenden werden die Rechengesetze aufgezählt und in Aufgabe 2 exemplarisch bewiesen.[br][br][size=150]Für alle [i]a[/i], [i]b[/i], [i]c[/i] [math]\in\mathbb{R}^n[/math] und alle [i]r[/i], [i]s[/i] [math]\in\mathbb{R}[/math] gilt:[br] [table][tr][td] ADDITION von Tupeln[/td][/tr][br][tr][td]1. Kommutativgesetz:[/td] [td][math]a+b=b+a [/math][br][/td][/tr][tr][td]2. Assoziativgesetz:[/td][td][math](a+b)+c=a+(b+c) [/math][br][/td][/tr][tr][td]3. Neutrales Element:[/td][td][math]a+o=a [/math] mit [math] o=\left(\begin{array} 0\\0\\\vdots\\0\end{array}\right) [/math][/td][/tr][tr][td]4. Inverse Elemente:[/td][td][math]a+(-a)=o [/math] mit [math] -a=\left(\begin{array} - a_1\\-a_2\\\vdots\\-a_n\end{array}\right) [/math][br][/td][/tr][tr][td] MULTIPLIKATION mit einer reellen Zahl[/td][td][/td][/tr][tr][td]5. "Assoziativgesetz":[/td][td][math]r\cdot( s\cdot a)=(r\cdot s)\cdot a [/math][br][/td][/tr][tr][td]6. "Distributivgesetz I":[/td][td][math]r\cdot(a+b)=r\cdot a+r\cdot b [/math][br][/td][/tr][tr][td]7. "Distributivgesetz II":[/td][td][math](r+s)\cdot a=r\cdot a+s\cdot a [/math][br][/td][/tr][tr][td]8. "Neutrales Element":[/td][td][math]1 \cdot a=a [/math][br][/td][/tr][/table][/size][br][size=150][i]Bemerkung:[/i][/size][br][br]Die Bezeichnungen der Rechengesetze 5 bis 8 stehen zwischen Anführungszeichen, weil diese Namen eigentlich nur bei Rechenoperationen innerhalb [i]einer[/i] Menge verwendet werden sollten, die Operanden gehören hier aber zu [i]verschiedenen[/i] Mengen, nämlich zu [math]\mathbb{R}[/math] und [math]\mathbb{R}^n[/math].[br][br]Außerdem haben die Malzeichen im Rechengesetz Nr. 5 zwei [i]verschiedene Bedeutungen[/i]: [br][i]Zahl mal Tupel[/i] bzw. [i]Zahl mal Zahl[/i];[br]ebenso die Pluszeichen im Rechengesetz Nr. 7:[br][i]Zahl plus Zahl[/i] bzw. [i]Tupel plus Tupel[/i].[br]
[size=150]Beweise das Rechengesetz Nr. 6 für [i]a[/i], [i]b[/i] [math]\in\mathbb{R}^2[/math] und [i]r[/i] [math]\in\mathbb{R}[/math].[/size]
[size=150][br]linke Seite:[br][math][br]r(a+b)=r\left[\left(\begin{array}a_1\\a_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}b_1\\b_2\end{array}\right)\right] =r\left(\begin{array}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{array}\right)\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(\begin{array}r(a_1+b_1)\\r(a_2+b_2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}ra_1+rb_1\\ra_2+rb_2\end{array}\right)[br][/math][br]rechte Seite:[br][math]ra+sa=r\left(\begin{array}a_1\\a_2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}b_1\\b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}ra_1\\ra_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}rb_1\\rb_2\end{array}\right)=[br]\left(\begin{array}ra_1+rb_1\\ra_2+rb_2\end{array}\right)[br][/math], q.e.d.[/size]
[size=150]Wie in Aufgabe 2 können auch die übrigen Rechengesetze bewiesen werden, indem man sie auf die Rechengesetze für reelle Zahlen und die Definitionen der Rechenoperationen für Tupel zurückführt.[br][br]Die SUBTRAKTION von Tupeln wird wie die Subtraktion reeller Zahlen definiert.[br][br][b]Definition:[/b] [br]Es seien [math]a,b\in\mathbb{R}^n[/math];[br]dann ist [math]a-b[/math] jenes Tupel [math]x\in\mathbb{R}^n[/math], für das [math]b+x=a[/math] gilt.[/size]
[table][tr][td][/td][/tr][/table][size=150][table][tr][td]Beweise:[/td][td][math]\left( \begin{matrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n\end{matrix}\right)-\left( \begin{matrix}b_1\\b_2\\ \vdots\\b_n\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\ \vdots\\a_n-b_n\end{matrix}\right)[/math],[/td][/tr][/table][br]indem du die einzelnen "Koordinaten" des gesuchten Tupels [i]x[/i] berechnest.[/size]
[br][math]a-b=x\ \Leftrightarrow \ b+x=a\\[br]\left( \begin{matrix}b_1\\b_2\\ \vdots\\b_n\end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n\end{matrix}\right)\ \Leftrightarrow \ [br]\left( \begin{matrix}b_1+x_1\\b_2+x_2\\ \vdots\\b_n+x_n\end{matrix}\right)=[br]\left( \begin{matrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n\end{matrix}\right)\ \Leftrightarrow \ [br]\left\{ \begin{matrix}b_1+x_1=a_1\\b_2+x_2=a_2\\ \vdots\\b_n+x_n=a_n\end{matrix}\right.\ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix}x_1=a_1-b_1\\x_2=a_2-b_2\\ \vdots\\x_n=a_n-b_n\end{matrix}\right.\ , q.e.d.[br][/math]
[size=150][i]Rechne nach (wie in Aufgabe 2): [/i][br]In [math]\mathbb{R}^n[/math] gilt (wie in [math]\mathbb{R}[/math]): [math]a-b=a+\left(-b\right)[/math].[br][br][/size][size=100][i]Bemerkung:[/i][br]Diese Formel folgt schon aus der Definition der Subtraktion und den Rechengesetzen für die Addition.[br][math]\ \ \ \ \ \ \ \ a-b=x\Leftrightarrow b+x=a [/math] [br]Kommutativgesetz: [math]\ x+b=a[/math],[br]Addition von [math]-b: \ \ [x+b]+(-b)=a+(-b)[/math],[br]Assoziativgesetz: [math] \ x+[b+(-b)]=a+(-b)[/math],[br]daraus folgt dann: [math]\ x+o=a+(-b)[/math] und schließlich [math]x=a+(-b)[/math], q.e.d.[br][/size]