allgemeine Regeln: Addition und Subtraktion in Z
Machen Sie sich klar: Nicht jede Rechnung lässt sich am Zahlenstrahl gut darstellen![br][br][u]Bsp.:[br][/u]Die Rechnung [math]5-9=-4[/math] lässt sich gut am Zahlenstrahl darstellen und überlegen:
Dagegen lässt sich die Rechnung [math]5-307=-302[/math] aufgrund des Maßstabs am Zahlenstrahl nur schlecht darstellen und damit auch schlecht damit wirklich berechnen:
Daher benötigt man also ein allgemeines Vorgehen, wie man jede Rechnung auch ohne den Zahlenstrahl berechnen kann.[br][br][b]Sie wissen bereits: [/b]Addiert oder Subtrahiert man eine ganze Zahl, so trifft das Rechenzeichen (+ oder -) auf ein Vorzeichen der zweiten Zahl (+ oder -). Dieses aufeinandertreffen kann man mit der ihnen bekannten Vorzeichentabelle auflösen:[br]
Vorzeichentabelle
Vervollständigen Sie die Tabelle![br][img]data:image/png;base64,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Jede Rechnung kann also entweder in die Form "Zahl + Zahl" oder "Zahl - Zahl" gebracht werden. Dabei können 4 Fälle auftreten:[br][br][list=1][*]Beide Zahlen sind positiv (z.B. 3+5) [/*][*]Beide Zahlen sind negativ (z.B. -3-5)[/*][*]Beide haben ein unterschiedliches Vorzeichen und das Minuszeichen steht bei der betragsmäßig größeren Zahl. (z.B. 3-5) [/*][*]Beide haben ein unterschiedliches Vorzeichen und das Minuszeichen steht bei der betragsmäßig kleineren Zahl. (z.B. -3+5)[/*][/list][br]
Nehmen Sie sich nun ein Schmierpapier und zeichnen die Rechnungen für die vier Fälle als Zahlenstrahldarstellung! Ordnen Sie dann jeder der drei Fälle einen der folgenden Sätze zu:[br](Eine ausführliche Musterlösung finden sie durch einen Klick auf "Antwort überprüfen")[br][br][list][*]Wenn wir die Reihenfolge tauschen (Kommutativgesetz!) so entsteht eine „ganz normale“ Differenz bei der wir von der größeren Zahl die kleinere abziehen. Dadurch können wir also „wie gewohnt“ rechnen.[/*][*]Wir starten "links" und gehen noch weiter nach links. Dadurch wird die Zahl also „noch negativer“, so dass ihr Betrag größer wird. Wir können also einfach die Beträge der Zahlen addieren und geben dem Endergebnis ein negatives Vorzeichen.[/*][*]Wir können ganz normal "wie gewohnt" rechnen.[/*][*]Tauscht man die Reihenfolge, so entspricht die negative Zahl der „Startzahl“. Dann wird durch die Addition der anderen Zahl Betrag auf jeden Fall kleiner, so dass wir also einfach den Betrag der kleineren Zahl vom Betrag der größeren Zahl abziehen und dem Ergebnis ein Minuszeichen geben können.[br][br][br][br][/*][/list]
Insgesamt folgt also als Regel:
Im Grunde genommen muss man also nach wie vor nur addieren oder subtrahieren können.[br][br]Bevor wir diese allgemeine Rechnung mit den neu gelernten Regeln in den [b]ganzen Zahlen [math]\mathbb{Z}[/math][/b] anwenden können, müssen wir so ein allgemeines Verfahren erst einmal in den [b]natürlichen Zahlen [math]\mathbb{N}[/math][/b] aus der Grundschule wiederholen.[br][br]Wenn Sie in der Gruppe "Addition" sind, machen Sie nun hier weiter: [url=https://www.geogebra.org/m/cvbnfs3u#material/yzbzsypj]schriftliche Addition in N[/url].[br][br]Wenn Sie in der Gruppe "Subtraktion" sind, machen Sie nun hier weiter: [url=https://www.geogebra.org/m/cvbnfs3u#material/yfpjankw]schriftliche Subtraktion in N[/url].[br]