[size=85][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist Teil des [color=#980000][b]GeoGebra-Books [color=#0000ff][i][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/i][/color][/b][/color] ([color=#ff7700][i][b]Januar 2022[/b][/i][/color])[/size][/size][br][/right]Die folgende für [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] allgemein und nicht sehr präzise formulierte [color=#9900ff][b]Aussage[/b][/color][br]ist noch unbewiesen: es ist uns nicht gelungen, für diesen Sachverhalt einen [color=#274E13][i][b]geometrisch[/b][/i][/color] und [color=#274E13][i][b]algebraisch[/b][/i][/color][br]einleuchtenden und "einfachen" Nachweis zu führen.[br][color=#cc0000][size=100][i][b]Für Hinweise, Ideen oder gar Beweise sind wir sehr offen und dankbar.[/b][/i][/size][/color][br][br]Spiegelt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] an den [color=#999999][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] einer Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color],[br]so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelbilder[/b][/i][/color] auf einem [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color]: dem zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color].[br][br]Umgekehrt kann man zu den [color=#00ffff][i][b]Punkten[/b][/i][/color] auf einem [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] [br]die zugehörigen [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] und die [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkte[/b][/i][/color] konstruieren.[br][br][size=50]Zur Illustration der [color=#9900ff][b]Aussage[/b][/color] sind die Beispiele unten in [i][b]Normalform[/b][/i] angezeigt.[br]Die [color=#9900ff][b]Aussage[/b][/color] ist jedoch für jede [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] gültig: [br] - der Sachverhalt ist invariant unter [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color][br] - jede [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik [/b][/i][/color]besitzt eine der angegebenen [i][b]Normalformen[/b][/i].[br][br][/size]Unten besteht die [color=#ff7700][i][b]Quartik [/b][/i][/color]aus dem Produkt zweier [color=#ff7700][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind die Grundpunkte des zugehörigen [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color]: [br] - [color=#cc0000][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], wenn sie sich in 2 [color=#00ff00][i][b]Punkten[/b][/i][/color] schneiden,[br] - [color=#cc0000][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color], wenn sie sich nicht schneiden,[br] - auch den [color=#cc0000][i][b]parabolischen Fall[/b][/i][/color] (ein [color=#00ff00][i][b]Berührpunkt[/b][/i][/color]) kann man näherungsweise erkunden.[br]Es gibt für die beiden ersten Fälle 2 Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color]:[br]spiegelt man den [color=#00ff00][i][b]Grundpunkt[/b][/i][/color] [math]f[/math] an diesen [color=#999999][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelbilder[/b][/i][/color] auf 2 [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color].[br][color=#ff7700][color=#000000]Die [color=#ff7700][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der [/color][i][b]Quartik[/b][/i][/color] lassen sich bewegen![br]Die [color=#B45F06][i][b]Spiegelung[/b][/i][/color] von [math]f[/math] an den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color] wird für manche Fälle angedeutet.[/size]

[size=85]Die für [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] allgemein formulierte Aussage ist für [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] vertraut und bewiesen:[br][br][color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] eines [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color] sind [color=#999999][i][b]doppelt-berührende "Kreise"[/b][/i][/color]: [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] gehen die [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] [br]durch [math]\infty[/math], dieser "Punkt" ist ein doppelt-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] und ein [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkt[/b][/i][/color].[br][color=#e69138][i][b]Spiegelt[/b][/i][/color] man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], zB. f, an den [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color], [br] - so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelbilder[/b][/i][/color] auf der[color=#0000ff][i][b] Leitgeraden[/b][/i][/color] (Fall [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color]),[br] - bzw. auf dem [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b](Hyperbel[/b][/i][/color] oder [u][b]Ellipse[/b][/u]).[br]Konstruieren lassen sich die [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] aus [color=#00ffff][i][b]Punkten[/b][/i][/color] auf dem "[color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]" als [color=#666666][i][b]Mittelsenkrechte[/b][/i][/color], [br]die [color=#ff7700][i][b]Kurvenpunkte[/b][/i][/color] als Schnitt der [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] mit einem der [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color].[br][br][color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] und [color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color] besitzen [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i][/color], [color=#B45F06][i][b]symmetrisch[/b][/i][/color] zur [i][b]Nebenachse[/b][/i].[br]Spiegelt man [math]f[/math] an diesen [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color], so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelbilder[/b][/i][/color] auf der zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color]. [br]Mit den [color=#00ffff][i][b]Punkten[/b][/i][/color] auf der [color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color] kann man die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] und die [color=#ff7700][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] konstruieren.[/size]

[size=85][i][b]1-teilige[/b][/i] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] besitzen 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonale [/b][/i][/color][color=#B45F06][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] [br]und 2 Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color].[br][/size]

[size=85][b]2[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] besitzen 4 Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color].[br]Zu der Schar der [math]x[/math]-[color=#B45F06][i][b]achsensymmetrischen[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85][color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen [/b][/i][color=#000000]gibt es keinen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. [color=#cc0000][size=50][i][b]Siehe die Bemerkung unten![/b][/i][/size][/color][br][/color][/color][/size]Die drei anderen [color=#999999][i][b]Scharen[/b][/i][/color] besitzen zu einem vorgegebenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] (hier [math]f[/math]) je einen zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color],[br]für welche die angegebene Konstruktion durchführbar ist.[/size]

[size=85]Von den [color=#ff0000][i][b]Kreisprodukten[/b][/i][/color] und den [b]1[/b]-teiligen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] abgesehen, besitzen [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] [br]jeweils eine Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color], die sich nicht mit der [color=#0000ff][i][b]Leitkreis-Konstruktion[/b][/i][/color] erzeugen lassen:[br] - für die [color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] sind es [color=#B45F06][i][b]achsensymmetrischen[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color], [br] - für die [color=#ff7700][i][b]Mittelpunktskegelschnitte[/b][/i][/color] und die [b]2[/b]-teiligen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartike[/b][/i][/color]n sind es die zur [math]x[/math]-Achse [br] [color=#B45F06][i][b]symmetrischen[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt berührenden Kreise[/b][/i][/color][/size].[br][size=85]Für diese [color=#999999][i][b]Kreisscharen[/b][/i][/color] gibt es eine andere Konstruktionsweise, für die wir aber ebenfalls keine Begründung angeben können. [br]Es wird jedoch ein enger Zusammenhang zum obigen Konsruktionsverfahren bestehen.[br][u][color=#cc0000][i][b]Links[/b][/i][/color][/u] hierzu: [br][math]\hookrightarrow[/math][/size] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp#material/vmzxsesf][color=#0000ff][u][i][b][size=85]bicircular quartics 2-sheet[/size][/b][/i][/u][/color][/url][br][math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp#material/p3v5wxet][color=#0000ff][u][i][b][size=85]Leitlinien und Brennpunkte ellipse & hyperbel - konfokal[/size][/b][/i][/u][/color][br][/url][math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/ydqphusv][size=85][color=#0000ff][u][i][b]Parabel-LeitKreis[/b][/i][/u][/color][/size][/url][size=85][br][math]\hookrightarrow[/math] [color=#cc0000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#chapter/365885][color=#0000ff][i][b]Kegelschnitt-Werkzeuge/Kapitel Kegelschnitte und Wellen[/b][/i][/color][/url][/size]