Každá rovina řeže kulovou plochu v kružnici. Průniku poloprostoru s koulí říkáme kulová úseč, zatímco průnik poloprostoru s kulovou plochou je kulovým vrchlíkem.

Rovina rozdělí kouli na dvě kulové úseče. Povrch kulové úseče nazýváme kulový vrchlík. Označme r poloměr koule, v výšku kulového vrchlíku a ρ poloměr podstavy kulové úseče. Důkazy pro povrch i objem jsou velmi podobné důkazům pro celou kouli. Povrch kulového vrchlíku: Objem kulové úseče: Povšimněte si, že povrch zelené části výšky v je opět rovný povrch pláště opsaného válce stejné výšky. Objem je rozdílem objemu opsaného válce a části kužele

*

Keplerovo odvození obsahu Na obrázku je červený kužel, který s vrchlíkem sdílí stejnou podstavnou kružnici o poloměru ρ. Ten poslouží pro Keplerovo odvození vztahu mezi povrchem a objemem. Uvažujme těleso, které je složené ze zeleného vrchlíku a červeného kužele s vrcholem ve středu koule. Obě části mají společnou kružnici o poloměru ρ. Označme h vzdálenost této kružnice od středu koule, tj. h = r - v. Platí, že . Představme si, že takové těleso je složené z velmi mnoha kuželů, které mají všechny vrchol ve středu sféry a podstavou je malá část kulového vrchlíku. Podstavy těchto kuželů pokryjí celý vrchlík o obsahu S. Objem V_C složeného tělesa je součtem objemů všech kuželů

Pro složené těleso tedy platí, že . Dosadíme do vztahu objem složeného tělesa V_C sečtením objemu V úseče (*) a objemu červeného kužele.

Experimentální ověření objemu kulové úseče Přesvědčit se o rovnosti objemů můžeme i experimentálně pomocí součástky z 3D tiskárny.