Každá rovina řeže kulovou plochu v kružnici. Průniku poloprostoru s koulí říkáme kulová úseč, zatímco průnik poloprostoru s kulovou plochou je kulovým vrchlíkem.

Rovina rozdělí kouli na dvě kulové úseče. Povrch kulové úseče nazýváme kulový vrchlík.[br]Označme [i]r[/i] poloměr koule, [i]v[/i] výšku kulového vrchlíku a [i]ρ[/i] poloměr podstavy kulové úseče. Důkazy pro povrch i objem jsou velmi podobné důkazům pro celou kouli.[br][br]Povrch kulového vrchlíku: [math]S=2\pi rv[/math][br]Objem kulové úseče: [math]V=\frac{\pi v}{6}\left(3\rho^2+v^2\right)[/math][br]Povšimněte si, že povrch zelené části výšky v je opět rovný povrch pláště opsaného válce stejné výšky. Objem je rozdílem objemu opsaného válce a části kužele [center][br][math]V=\pi r^2v-\frac{1}{3}\pi\left(r^3-h^3\right).[/math] *[br][/center][size=150]Keplerovo odvození obsahu[/size][br]Na obrázku je červený kužel, který s vrchlíkem sdílí stejnou podstavnou kružnici o poloměru ρ. Ten poslouží pro Keplerovo odvození vztahu mezi povrchem a objemem. [br]Uvažujme těleso, které je složené ze zeleného vrchlíku a červeného kužele s vrcholem ve středu koule. Obě části mají společnou kružnici o poloměru ρ. Označme h vzdálenost této kružnice od středu koule, tj. [i]h = r - v[/i]. Platí, že [math]\text{ρ}^2=r^2-h^2[/math]. Představme si, že takové těleso je složené z velmi mnoha kuželů, které mají všechny vrchol ve středu sféry a podstavou je malá část kulového vrchlíku. Podstavy těchto kuželů pokryjí celý vrchlík o obsahu S. [br]Objem [i]V[sub]C[/sub][/i] složeného tělesa je součtem objemů všech kuželů[br][center] [math]\frac{1}{3}r\left(S_1+S_2+...+S_n\right)=V_1+V_2+...+V_n[/math] [/center] Pro složené těleso tedy platí, že [math]\frac{1}{3}S.r=V_C[/math].[br][br]Dosadíme do vztahu objem složeného tělesa [i]V[sub]C[/sub][/i] sečtením objemu [i]V[/i] úseče (*) a objemu červeného kužele.[center][math]\frac{1}{3}S.r=\pi r^2v-\frac{1}{3}\pi\left(r^3-h^3\right)+\frac{1}{3}\pi\rho^2h[/math][br][math]\frac{1}{3}S.r=\frac{2}{3}\pi r^2v[/math][br][math]S=2\pi rv[/math][br][/center][br][size=150]Experimentální ověření objemu kulové úseče[/size][br]Přesvědčit se o rovnosti objemů můžeme i experimentálně pomocí součástky z 3D tiskárny.