Stellen Sie sich zwei Punkte im Raum vor - wie können Sie den Abstand dieser Punkte berechnen
Der Abstand der Punkte ist durch den Betrag ihres Verbindungsvektors gegeben. (Siehe Kapitel 2.2)[br][br]Die Differenzen der einzelnen Punktkoordinaten sind gleich den Komponenten des Verbindungsvektors. Die Wurzel aus der Summe der Komponentenquadrate sein Betrag.
Blenden Sie nun auf dem Applet unten die Parameterdarstellung der Geraden ein. Mit dem Paramter s können Sie die einzelnen Punkte auf der Geeraden abfahren, deren Koordinaten jeweils durch [math]\vec{p}+s\cdot\vec{q}[/math] gegeben sind. [br][br]Veranschaulichen Sie sich dies durch Einblenden der Spurpunkte und dann durch Einblenden des Endpunktes bei durch Sie gegebemen s.
Blenden Sie nun den Punkt C mit unbekanntem Abstand ein, der irgendwo im Raum liegt ein. Der Abstand zuwischen dem aktuellen Endpunkt des Vektors D der Koordinatendarstellen und diesem Punkt ist duch deren Verbindungsvektor gegeben. Blenden Sie den Verbindungsvektor ein. [br][br]a) Warum ist durch diesen Verbindungsvektor der Abstand CD durch [math]\left|\vec{CD}\right|[/math] gegeben, nicht aber der Abstand von C zuR Geraden?[br]b) Was hat das für eine direkte Folge ffür dieAbstandsberechnung?
a) Der Verbindungsvektor [math]\vec{CD}[/math] schließt einen beliebigen Winkel zur Gerade ein. Die kürzest mögliche Verbindungslinie steht jedoch im rechten Winkel dazu.[br][br]b) Der Parameter r muß so gewählt werden, daß der Veerbindungsvektor zwischen dem durch dieses r erzeugten Endpunkt und demPunkt außerhalb der Geraden im rechten Winkel zur Geraden und damit im rechten Winkel zu deren Richungsvektor steht.
Der Verbindungsvektor zwischen dem Punkt C und der Geraden ist für einen beliebibigen Punkt durch die Differenz [math]C-\vec{x}[/math] gegeben. Dieser Verbindungsvektor muß senkrecht auf dem Richtungsvektor stehen. Dies führt zur Bedingung: [math]\left(C-\vec{x}\right)\vec{q}=0[/math], da damit das Skalaprodukt zwischen Verbindungs- und Richtungsvektor Null sq´ein muß. Aus dieser Bedingung kann r für den Punkt bestimmt werden, dessen Verbinungsvektor zu C senkrecht auf der Geraden steht. Für dieses r gibt dann der Betrag des Verbinungsvektors den Abstand an.[br][center][img]data:image/png;base64,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[/img][/center]
1. Berechnen Sie nun den Abstand von C zur Geraden. Sie können de nAbstand zur Kontrolle einblenden[br]2. Sie können beliebig viele weitere Aufgaben gererieren indem Sie neue Koordinaten für C eingeben und die Lage der Geraden über die eingeblendeten Punkte ändern. Kontrolle dann jeweils über die eingeblendeten Abstände